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Theorem neiptoptop 20983
Description: Lemma for neiptopreu 20985. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
neiptop.o 𝐽 = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑝𝑎 𝑎 ∈ (𝑁𝑝)}
neiptop.0 (𝜑𝑁:𝑋⟶𝒫 𝒫 𝑋)
neiptop.1 ((((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑎𝑏𝑏𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁𝑝)) → 𝑏 ∈ (𝑁𝑝))
neiptop.2 ((𝜑𝑝𝑋) → (fi‘(𝑁𝑝)) ⊆ (𝑁𝑝))
neiptop.3 (((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁𝑝)) → 𝑝𝑎)
neiptop.4 (((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁𝑝)) → ∃𝑏 ∈ (𝑁𝑝)∀𝑞𝑏 𝑎 ∈ (𝑁𝑞))
neiptop.5 ((𝜑𝑝𝑋) → 𝑋 ∈ (𝑁𝑝))
Assertion
Ref Expression
neiptoptop (𝜑𝐽 ∈ Top)
Distinct variable groups:   𝑝,𝑎   𝑁,𝑎   𝑋,𝑎,𝑏,𝑝   𝐽,𝑎,𝑝   𝑋,𝑝   𝜑,𝑝   𝑁,𝑏   𝑋,𝑏   𝜑,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑞)   𝐽(𝑞,𝑏)   𝑁(𝑞,𝑝)   𝑋(𝑞)

Proof of Theorem neiptoptop
Dummy variables 𝑐 𝑒 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniss 4490 . . . . . . 7 (𝑒𝐽 𝑒 𝐽)
21adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑒𝐽) → 𝑒 𝐽)
3 neiptop.o . . . . . . . 8 𝐽 = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑝𝑎 𝑎 ∈ (𝑁𝑝)}
4 neiptop.0 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁:𝑋⟶𝒫 𝒫 𝑋)
5 neiptop.1 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑎𝑏𝑏𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁𝑝)) → 𝑏 ∈ (𝑁𝑝))
6 neiptop.2 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝𝑋) → (fi‘(𝑁𝑝)) ⊆ (𝑁𝑝))
7 neiptop.3 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁𝑝)) → 𝑝𝑎)
8 neiptop.4 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁𝑝)) → ∃𝑏 ∈ (𝑁𝑝)∀𝑞𝑏 𝑎 ∈ (𝑁𝑞))
9 neiptop.5 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝𝑋) → 𝑋 ∈ (𝑁𝑝))
103, 4, 5, 6, 7, 8, 9neiptopuni 20982 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 = 𝐽)
1110adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑒𝐽) → 𝑋 = 𝐽)
122, 11sseqtr4d 3675 . . . . 5 ((𝜑𝑒𝐽) → 𝑒𝑋)
13 simp-4l 823 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑝 𝑒) ∧ 𝑐𝑒) ∧ 𝑝𝑐) → 𝜑)
1412ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑝 𝑒) ∧ 𝑐𝑒) ∧ 𝑝𝑐) → 𝑒𝑋)
15 simpllr 815 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑝 𝑒) ∧ 𝑐𝑒) ∧ 𝑝𝑐) → 𝑝 𝑒)
1614, 15sseldd 3637 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑝 𝑒) ∧ 𝑐𝑒) ∧ 𝑝𝑐) → 𝑝𝑋)
1713, 16jca 553 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑝 𝑒) ∧ 𝑐𝑒) ∧ 𝑝𝑐) → (𝜑𝑝𝑋))
18 elssuni 4499 . . . . . . . . . 10 (𝑐𝑒𝑐 𝑒)
1918ad2antlr 763 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑝 𝑒) ∧ 𝑐𝑒) ∧ 𝑝𝑐) → 𝑐 𝑒)
2017, 19, 143jca 1261 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑝 𝑒) ∧ 𝑐𝑒) ∧ 𝑝𝑐) → ((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑐 𝑒 𝑒𝑋))
21 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑒𝐽) → 𝑒𝐽)
2221sselda 3636 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑐𝑒) → 𝑐𝐽)
233neipeltop 20981 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐𝐽 ↔ (𝑐𝑋 ∧ ∀𝑝𝑐 𝑐 ∈ (𝑁𝑝)))
2423simprbi 479 . . . . . . . . . . 11 (𝑐𝐽 → ∀𝑝𝑐 𝑐 ∈ (𝑁𝑝))
2522, 24syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑐𝑒) → ∀𝑝𝑐 𝑐 ∈ (𝑁𝑝))
2625r19.21bi 2961 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑐𝑒) ∧ 𝑝𝑐) → 𝑐 ∈ (𝑁𝑝))
2726adantllr 755 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑝 𝑒) ∧ 𝑐𝑒) ∧ 𝑝𝑐) → 𝑐 ∈ (𝑁𝑝))
28 sseq1 3659 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = 𝑐 → (𝑎 𝑒𝑐 𝑒))
29283anbi2d 1444 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝑐 → (((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑎 𝑒 𝑒𝑋) ↔ ((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑐 𝑒 𝑒𝑋)))
30 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝑐 → (𝑎 ∈ (𝑁𝑝) ↔ 𝑐 ∈ (𝑁𝑝)))
3129, 30anbi12d 747 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑐 → ((((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑎 𝑒 𝑒𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁𝑝)) ↔ (((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑐 𝑒 𝑒𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁𝑝))))
3231imbi1d 330 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝑐 → (((((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑎 𝑒 𝑒𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁𝑝)) → 𝑒 ∈ (𝑁𝑝)) ↔ ((((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑐 𝑒 𝑒𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁𝑝)) → 𝑒 ∈ (𝑁𝑝))))
3332imbi2d 329 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑐 → (((𝜑𝑒𝐽) → ((((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑎 𝑒 𝑒𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁𝑝)) → 𝑒 ∈ (𝑁𝑝))) ↔ ((𝜑𝑒𝐽) → ((((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑐 𝑒 𝑒𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁𝑝)) → 𝑒 ∈ (𝑁𝑝)))))
34 ssid 3657 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑋𝑋
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑋𝑋)
369ralrimiva 2995 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ∀𝑝𝑋 𝑋 ∈ (𝑁𝑝))
373neipeltop 20981 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋𝐽 ↔ (𝑋𝑋 ∧ ∀𝑝𝑋 𝑋 ∈ (𝑁𝑝)))
3835, 36, 37sylanbrc 699 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑋𝐽)
39 pwexg 4880 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋𝐽 → 𝒫 𝑋 ∈ V)
40 rabexg 4844 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝒫 𝑋 ∈ V → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑝𝑎 𝑎 ∈ (𝑁𝑝)} ∈ V)
4138, 39, 403syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑝𝑎 𝑎 ∈ (𝑁𝑝)} ∈ V)
423, 41syl5eqel 2734 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐽 ∈ V)
4342adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑒𝐽) → 𝐽 ∈ V)
4443, 21ssexd 4838 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑒𝐽) → 𝑒 ∈ V)
45 uniexg 6997 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∈ V → 𝑒 ∈ V)
46 sseq2 3660 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = 𝑒 → (𝑎𝑏𝑎 𝑒))
47 sseq1 3659 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = 𝑒 → (𝑏𝑋 𝑒𝑋))
4846, 473anbi23d 1442 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑒 → (((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑎𝑏𝑏𝑋) ↔ ((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑎 𝑒 𝑒𝑋)))
4948anbi1d 741 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝑒 → ((((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑎𝑏𝑏𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁𝑝)) ↔ (((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑎 𝑒 𝑒𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁𝑝))))
50 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝑒 → (𝑏 ∈ (𝑁𝑝) ↔ 𝑒 ∈ (𝑁𝑝)))
5149, 50imbi12d 333 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = 𝑒 → (((((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑎𝑏𝑏𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁𝑝)) → 𝑏 ∈ (𝑁𝑝)) ↔ ((((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑎 𝑒 𝑒𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁𝑝)) → 𝑒 ∈ (𝑁𝑝))))
5251, 5vtoclg 3297 . . . . . . . . . . 11 ( 𝑒 ∈ V → ((((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑎 𝑒 𝑒𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁𝑝)) → 𝑒 ∈ (𝑁𝑝)))
5344, 45, 523syl 18 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑒𝐽) → ((((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑎 𝑒 𝑒𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁𝑝)) → 𝑒 ∈ (𝑁𝑝)))
5433, 53chvarv 2299 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑒𝐽) → ((((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑐 𝑒 𝑒𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁𝑝)) → 𝑒 ∈ (𝑁𝑝)))
5554ad3antrrr 766 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑝 𝑒) ∧ 𝑐𝑒) ∧ 𝑝𝑐) → ((((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑐 𝑒 𝑒𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁𝑝)) → 𝑒 ∈ (𝑁𝑝)))
5620, 27, 55mp2and 715 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑝 𝑒) ∧ 𝑐𝑒) ∧ 𝑝𝑐) → 𝑒 ∈ (𝑁𝑝))
57 simpr 476 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑝 𝑒) → 𝑝 𝑒)
58 eluni2 4472 . . . . . . . 8 (𝑝 𝑒 ↔ ∃𝑐𝑒 𝑝𝑐)
5957, 58sylib 208 . . . . . . 7 (((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑝 𝑒) → ∃𝑐𝑒 𝑝𝑐)
6056, 59r19.29a 3107 . . . . . 6 (((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑝 𝑒) → 𝑒 ∈ (𝑁𝑝))
6160ralrimiva 2995 . . . . 5 ((𝜑𝑒𝐽) → ∀𝑝 𝑒 𝑒 ∈ (𝑁𝑝))
623neipeltop 20981 . . . . 5 ( 𝑒𝐽 ↔ ( 𝑒𝑋 ∧ ∀𝑝 𝑒 𝑒 ∈ (𝑁𝑝)))
6312, 61, 62sylanbrc 699 . . . 4 ((𝜑𝑒𝐽) → 𝑒𝐽)
6463ex 449 . . 3 (𝜑 → (𝑒𝐽 𝑒𝐽))
6564alrimiv 1895 . 2 (𝜑 → ∀𝑒(𝑒𝐽 𝑒𝐽))
66 inss1 3866 . . . . . 6 (𝑒𝑓) ⊆ 𝑒
673neipeltop 20981 . . . . . . . 8 (𝑒𝐽 ↔ (𝑒𝑋 ∧ ∀𝑝𝑒 𝑒 ∈ (𝑁𝑝)))
6867simplbi 475 . . . . . . 7 (𝑒𝐽𝑒𝑋)
6968ad2antlr 763 . . . . . 6 (((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑓𝐽) → 𝑒𝑋)
7066, 69syl5ss 3647 . . . . 5 (((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑓𝐽) → (𝑒𝑓) ⊆ 𝑋)
71 simplll 813 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑓𝐽) ∧ 𝑝 ∈ (𝑒𝑓)) → 𝜑)
72 simpllr 815 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑓𝐽) ∧ 𝑝 ∈ (𝑒𝑓)) → 𝑒𝐽)
7372, 68syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑓𝐽) ∧ 𝑝 ∈ (𝑒𝑓)) → 𝑒𝑋)
74 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑓𝐽) ∧ 𝑝 ∈ (𝑒𝑓)) → 𝑝 ∈ (𝑒𝑓))
7566, 74sseldi 3634 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑓𝐽) ∧ 𝑝 ∈ (𝑒𝑓)) → 𝑝𝑒)
7673, 75sseldd 3637 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑓𝐽) ∧ 𝑝 ∈ (𝑒𝑓)) → 𝑝𝑋)
7771, 76, 6syl2anc 694 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑓𝐽) ∧ 𝑝 ∈ (𝑒𝑓)) → (fi‘(𝑁𝑝)) ⊆ (𝑁𝑝))
7867simprbi 479 . . . . . . . . . 10 (𝑒𝐽 → ∀𝑝𝑒 𝑒 ∈ (𝑁𝑝))
7978r19.21bi 2961 . . . . . . . . 9 ((𝑒𝐽𝑝𝑒) → 𝑒 ∈ (𝑁𝑝))
8072, 75, 79syl2anc 694 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑓𝐽) ∧ 𝑝 ∈ (𝑒𝑓)) → 𝑒 ∈ (𝑁𝑝))
81 simplr 807 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑓𝐽) ∧ 𝑝 ∈ (𝑒𝑓)) → 𝑓𝐽)
82 inss2 3867 . . . . . . . . . 10 (𝑒𝑓) ⊆ 𝑓
8382, 74sseldi 3634 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑓𝐽) ∧ 𝑝 ∈ (𝑒𝑓)) → 𝑝𝑓)
843neipeltop 20981 . . . . . . . . . . 11 (𝑓𝐽 ↔ (𝑓𝑋 ∧ ∀𝑝𝑓 𝑓 ∈ (𝑁𝑝)))
8584simprbi 479 . . . . . . . . . 10 (𝑓𝐽 → ∀𝑝𝑓 𝑓 ∈ (𝑁𝑝))
8685r19.21bi 2961 . . . . . . . . 9 ((𝑓𝐽𝑝𝑓) → 𝑓 ∈ (𝑁𝑝))
8781, 83, 86syl2anc 694 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑓𝐽) ∧ 𝑝 ∈ (𝑒𝑓)) → 𝑓 ∈ (𝑁𝑝))
88 fvex 6239 . . . . . . . . 9 (𝑁𝑝) ∈ V
89 inelfi 8365 . . . . . . . . 9 (((𝑁𝑝) ∈ V ∧ 𝑒 ∈ (𝑁𝑝) ∧ 𝑓 ∈ (𝑁𝑝)) → (𝑒𝑓) ∈ (fi‘(𝑁𝑝)))
9088, 89mp3an1 1451 . . . . . . . 8 ((𝑒 ∈ (𝑁𝑝) ∧ 𝑓 ∈ (𝑁𝑝)) → (𝑒𝑓) ∈ (fi‘(𝑁𝑝)))
9180, 87, 90syl2anc 694 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑓𝐽) ∧ 𝑝 ∈ (𝑒𝑓)) → (𝑒𝑓) ∈ (fi‘(𝑁𝑝)))
9277, 91sseldd 3637 . . . . . 6 ((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑓𝐽) ∧ 𝑝 ∈ (𝑒𝑓)) → (𝑒𝑓) ∈ (𝑁𝑝))
9392ralrimiva 2995 . . . . 5 (((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑓𝐽) → ∀𝑝 ∈ (𝑒𝑓)(𝑒𝑓) ∈ (𝑁𝑝))
943neipeltop 20981 . . . . 5 ((𝑒𝑓) ∈ 𝐽 ↔ ((𝑒𝑓) ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑝 ∈ (𝑒𝑓)(𝑒𝑓) ∈ (𝑁𝑝)))
9570, 93, 94sylanbrc 699 . . . 4 (((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑓𝐽) → (𝑒𝑓) ∈ 𝐽)
9695ralrimiva 2995 . . 3 ((𝜑𝑒𝐽) → ∀𝑓𝐽 (𝑒𝑓) ∈ 𝐽)
9796ralrimiva 2995 . 2 (𝜑 → ∀𝑒𝐽𝑓𝐽 (𝑒𝑓) ∈ 𝐽)
98 istopg 20748 . . 3 (𝐽 ∈ V → (𝐽 ∈ Top ↔ (∀𝑒(𝑒𝐽 𝑒𝐽) ∧ ∀𝑒𝐽𝑓𝐽 (𝑒𝑓) ∈ 𝐽)))
9942, 98syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐽 ∈ Top ↔ (∀𝑒(𝑒𝐽 𝑒𝐽) ∧ ∀𝑒𝐽𝑓𝐽 (𝑒𝑓) ∈ 𝐽)))
10065, 97, 99mpbir2and 977 1 (𝜑𝐽 ∈ Top)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054  wal 1521   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  wrex 2942  {crab 2945  Vcvv 3231  cin 3606  wss 3607  𝒫 cpw 4191   cuni 4468  wf 5922  cfv 5926  ficfi 8357  Topctop 20746
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-fin 8001  df-fi 8358  df-top 20747
This theorem is referenced by:  neiptopnei  20984  neiptopreu  20985
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