MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  neips Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem neips 20965
Description: A neighborhood of a set is a neighborhood of every point in the set. Proposition of [BourbakiTop1] p. I.2. (Contributed by FL, 16-Nov-2006.)
Hypothesis
Ref Expression
neips.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
neips ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑝𝑆 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑝})))
Distinct variable groups:   𝐽,𝑝   𝑁,𝑝   𝑆,𝑝   𝑋,𝑝

Proof of Theorem neips
Dummy variables 𝑔 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snssi 4371 . . . . . 6 (𝑝𝑆 → {𝑝} ⊆ 𝑆)
2 neiss 20961 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ {𝑝} ⊆ 𝑆) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑝}))
31, 2syl3an3 1401 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑝𝑆) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑝}))
433exp 1283 . . . 4 (𝐽 ∈ Top → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) → (𝑝𝑆𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑝}))))
54ralrimdv 2997 . . 3 (𝐽 ∈ Top → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) → ∀𝑝𝑆 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑝})))
653ad2ant1 1102 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) → ∀𝑝𝑆 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑝})))
7 r19.28zv 4099 . . . . 5 (𝑆 ≠ ∅ → (∀𝑝𝑆 (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑝𝑔𝑔𝑁)) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∀𝑝𝑆𝑔𝐽 (𝑝𝑔𝑔𝑁))))
873ad2ant3 1104 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → (∀𝑝𝑆 (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑝𝑔𝑔𝑁)) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∀𝑝𝑆𝑔𝐽 (𝑝𝑔𝑔𝑁))))
9 ssrab2 3720 . . . . . . . . . 10 {𝑣𝐽𝑣𝑁} ⊆ 𝐽
10 uniopn 20750 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ {𝑣𝐽𝑣𝑁} ⊆ 𝐽) → {𝑣𝐽𝑣𝑁} ∈ 𝐽)
119, 10mpan2 707 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ Top → {𝑣𝐽𝑣𝑁} ∈ 𝐽)
1211ad2antrr 762 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ ∀𝑝𝑆𝑔𝐽 (𝑝𝑔𝑔𝑁)) → {𝑣𝐽𝑣𝑁} ∈ 𝐽)
13 sseq1 3659 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 = 𝑔 → (𝑣𝑁𝑔𝑁))
1413elrab 3396 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑔 ∈ {𝑣𝐽𝑣𝑁} ↔ (𝑔𝐽𝑔𝑁))
15 elunii 4473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑝𝑔𝑔 ∈ {𝑣𝐽𝑣𝑁}) → 𝑝 {𝑣𝐽𝑣𝑁})
1614, 15sylan2br 492 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝𝑔 ∧ (𝑔𝐽𝑔𝑁)) → 𝑝 {𝑣𝐽𝑣𝑁})
1716an12s 860 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑔𝐽 ∧ (𝑝𝑔𝑔𝑁)) → 𝑝 {𝑣𝐽𝑣𝑁})
1817rexlimiva 3057 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑔𝐽 (𝑝𝑔𝑔𝑁) → 𝑝 {𝑣𝐽𝑣𝑁})
1918ralimi 2981 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑝𝑆𝑔𝐽 (𝑝𝑔𝑔𝑁) → ∀𝑝𝑆 𝑝 {𝑣𝐽𝑣𝑁})
20 dfss3 3625 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 {𝑣𝐽𝑣𝑁} ↔ ∀𝑝𝑆 𝑝 {𝑣𝐽𝑣𝑁})
2119, 20sylibr 224 . . . . . . . . . 10 (∀𝑝𝑆𝑔𝐽 (𝑝𝑔𝑔𝑁) → 𝑆 {𝑣𝐽𝑣𝑁})
2221adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ ∀𝑝𝑆𝑔𝐽 (𝑝𝑔𝑔𝑁)) → 𝑆 {𝑣𝐽𝑣𝑁})
23 unissb 4501 . . . . . . . . . 10 ( {𝑣𝐽𝑣𝑁} ⊆ 𝑁 ↔ ∀ ∈ {𝑣𝐽𝑣𝑁}𝑁)
24 sseq1 3659 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = → (𝑣𝑁𝑁))
2524elrab 3396 . . . . . . . . . . 11 ( ∈ {𝑣𝐽𝑣𝑁} ↔ (𝐽𝑁))
2625simprbi 479 . . . . . . . . . 10 ( ∈ {𝑣𝐽𝑣𝑁} → 𝑁)
2723, 26mprgbir 2956 . . . . . . . . 9 {𝑣𝐽𝑣𝑁} ⊆ 𝑁
2822, 27jctir 560 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ ∀𝑝𝑆𝑔𝐽 (𝑝𝑔𝑔𝑁)) → (𝑆 {𝑣𝐽𝑣𝑁} ∧ {𝑣𝐽𝑣𝑁} ⊆ 𝑁))
29 sseq2 3660 . . . . . . . . . 10 ( = {𝑣𝐽𝑣𝑁} → (𝑆𝑆 {𝑣𝐽𝑣𝑁}))
30 sseq1 3659 . . . . . . . . . 10 ( = {𝑣𝐽𝑣𝑁} → (𝑁 {𝑣𝐽𝑣𝑁} ⊆ 𝑁))
3129, 30anbi12d 747 . . . . . . . . 9 ( = {𝑣𝐽𝑣𝑁} → ((𝑆𝑁) ↔ (𝑆 {𝑣𝐽𝑣𝑁} ∧ {𝑣𝐽𝑣𝑁} ⊆ 𝑁)))
3231rspcev 3340 . . . . . . . 8 (( {𝑣𝐽𝑣𝑁} ∈ 𝐽 ∧ (𝑆 {𝑣𝐽𝑣𝑁} ∧ {𝑣𝐽𝑣𝑁} ⊆ 𝑁)) → ∃𝐽 (𝑆𝑁))
3312, 28, 32syl2anc 694 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ ∀𝑝𝑆𝑔𝐽 (𝑝𝑔𝑔𝑁)) → ∃𝐽 (𝑆𝑁))
3433ex 449 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (∀𝑝𝑆𝑔𝐽 (𝑝𝑔𝑔𝑁) → ∃𝐽 (𝑆𝑁)))
3534anim2d 588 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → ((𝑁𝑋 ∧ ∀𝑝𝑆𝑔𝐽 (𝑝𝑔𝑔𝑁)) → (𝑁𝑋 ∧ ∃𝐽 (𝑆𝑁))))
36353adant3 1101 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → ((𝑁𝑋 ∧ ∀𝑝𝑆𝑔𝐽 (𝑝𝑔𝑔𝑁)) → (𝑁𝑋 ∧ ∃𝐽 (𝑆𝑁))))
378, 36sylbid 230 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → (∀𝑝𝑆 (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑝𝑔𝑔𝑁)) → (𝑁𝑋 ∧ ∃𝐽 (𝑆𝑁))))
38 ssel2 3631 . . . . . . 7 ((𝑆𝑋𝑝𝑆) → 𝑝𝑋)
39 neips.1 . . . . . . . 8 𝑋 = 𝐽
4039isneip 20957 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑝𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑝}) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑝𝑔𝑔𝑁))))
4138, 40sylan2 490 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆𝑋𝑝𝑆)) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑝}) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑝𝑔𝑔𝑁))))
4241anassrs 681 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑝𝑆) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑝}) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑝𝑔𝑔𝑁))))
4342ralbidva 3014 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (∀𝑝𝑆 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑝}) ↔ ∀𝑝𝑆 (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑝𝑔𝑔𝑁))))
44433adant3 1101 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → (∀𝑝𝑆 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑝}) ↔ ∀𝑝𝑆 (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑝𝑔𝑔𝑁))))
4539isnei 20955 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝐽 (𝑆𝑁))))
46453adant3 1101 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝐽 (𝑆𝑁))))
4737, 44, 463imtr4d 283 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → (∀𝑝𝑆 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑝}) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
486, 47impbid 202 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑝𝑆 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑝})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  {crab 2945  wss 3607  c0 3948  {csn 4210   cuni 4468  cfv 5926  Topctop 20746  neicnei 20949
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-top 20747  df-nei 20950
This theorem is referenced by:  utop2nei  22101
  Copyright terms: Public domain W3C validator