Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  neik0pk1imk0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem neik0pk1imk0 38871
Description: Kuratowski's K0' and K1 axioms imply K0. Neighborhood version. (Contributed by RP, 3-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
neik0pk1imk0.bex (𝜑𝐵𝑉)
neik0pk1imk0.n (𝜑𝑁 ∈ (𝒫 𝒫 𝐵𝑚 𝐵))
neik0pk1imk0.k0p (𝜑 → ∀𝑥𝐵 (𝑁𝑥) ≠ ∅)
neik0pk1imk0.k1 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝑡) → 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)))
Assertion
Ref Expression
neik0pk1imk0 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 𝐵 ∈ (𝑁𝑥))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑠,𝑡   𝑁,𝑠,𝑡   𝜑,𝑠,𝑥   𝑥,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐵(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑡,𝑠)

Proof of Theorem neik0pk1imk0
StepHypRef Expression
1 neik0pk1imk0.k1 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝑡) → 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)))
2 neik0pk1imk0.bex . . . . . . . 8 (𝜑𝐵𝑉)
3 pwidg 4313 . . . . . . . 8 (𝐵𝑉𝐵 ∈ 𝒫 𝐵)
42, 3syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ 𝒫 𝐵)
5 sseq2 3776 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 𝐵 → (𝑠𝑡𝑠𝐵))
65anbi2d 614 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 𝐵 → ((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝑡) ↔ (𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵)))
7 eleq1 2838 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 𝐵 → (𝑡 ∈ (𝑁𝑥) ↔ 𝐵 ∈ (𝑁𝑥)))
86, 7imbi12d 333 . . . . . . . 8 (𝑡 = 𝐵 → (((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝑡) → 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)) ↔ ((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁𝑥))))
98rspcv 3456 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ 𝒫 𝐵 → (∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝑡) → 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)) → ((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁𝑥))))
104, 9syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝑡) → 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)) → ((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁𝑥))))
1110ralimdv 3112 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝑡) → 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁𝑥))))
1211ralimdv 3112 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝑡) → 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)) → ∀𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁𝑥))))
131, 12mpd 15 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁𝑥)))
14 r19.23v 3171 . . . . . 6 (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁𝑥)) ↔ (∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁𝑥)))
1514biimpi 206 . . . . 5 (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁𝑥)) → (∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁𝑥)))
1615a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁𝑥)) → (∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁𝑥))))
1716ralimdv 3112 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁𝑥)) → ∀𝑥𝐵 (∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁𝑥))))
1813, 17mpd 15 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 (∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁𝑥)))
19 neik0pk1imk0.k0p . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 (𝑁𝑥) ≠ ∅)
20 neik0pk1imk0.n . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ (𝒫 𝒫 𝐵𝑚 𝐵))
21 elmapi 8035 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (𝒫 𝒫 𝐵𝑚 𝐵) → 𝑁:𝐵⟶𝒫 𝒫 𝐵)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁:𝐵⟶𝒫 𝒫 𝐵)
2322ffvelrnda 6504 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑁𝑥) ∈ 𝒫 𝒫 𝐵)
2423elpwid 4310 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑁𝑥) ⊆ 𝒫 𝐵)
2524sseld 3751 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑠 ∈ (𝑁𝑥) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵))
2625ancrd 541 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑠 ∈ (𝑁𝑥) → (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑠 ∈ (𝑁𝑥))))
2726eximdv 1998 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵) → (∃𝑠 𝑠 ∈ (𝑁𝑥) → ∃𝑠(𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑠 ∈ (𝑁𝑥))))
28 n0 4079 . . . . . . . 8 ((𝑁𝑥) ≠ ∅ ↔ ∃𝑠 𝑠 ∈ (𝑁𝑥))
29 df-rex 3067 . . . . . . . 8 (∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ↔ ∃𝑠(𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑠 ∈ (𝑁𝑥)))
3027, 28, 293imtr4g 285 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵) → ((𝑁𝑥) ≠ ∅ → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑠 ∈ (𝑁𝑥)))
3130imp 393 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑁𝑥) ≠ ∅) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑠 ∈ (𝑁𝑥))
32 elpwi 4308 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑠𝐵)
3325, 32syl6 35 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑠 ∈ (𝑁𝑥) → 𝑠𝐵))
3433alrimiv 2007 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵) → ∀𝑠(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) → 𝑠𝐵))
35 alral 3077 . . . . . . . 8 (∀𝑠(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) → 𝑠𝐵) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) → 𝑠𝐵))
3634, 35syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) → 𝑠𝐵))
3736adantr 466 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑁𝑥) ≠ ∅) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) → 𝑠𝐵))
3831, 37r19.29imd 3222 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑁𝑥) ≠ ∅) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵))
3938ex 397 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → ((𝑁𝑥) ≠ ∅ → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵)))
4039ralimdva 3111 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥𝐵 (𝑁𝑥) ≠ ∅ → ∀𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵)))
4119, 40mpd 15 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵))
42 ralim 3097 . 2 (∀𝑥𝐵 (∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁𝑥)) → (∀𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → ∀𝑥𝐵 𝐵 ∈ (𝑁𝑥)))
4318, 41, 42sylc 65 1 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 𝐵 ∈ (𝑁𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wal 1629   = wceq 1631  wex 1852  wcel 2145  wne 2943  wral 3061  wrex 3062  wss 3723  c0 4063  𝒫 cpw 4298  wf 6026  cfv 6030  (class class class)co 6796  𝑚 cmap 8013
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-fv 6038  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-map 8015
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator