Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  neifg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem neifg 32693
Description: The neighborhood filter of a nonempty set is generated by its open supersets. See comments for opnfbas 21867. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Sep-2009.)
Hypothesis
Ref Expression
neifg.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
neifg ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → (𝑋filGen{𝑥𝐽𝑆𝑥}) = ((nei‘𝐽)‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐽   𝑥,𝑆   𝑥,𝑋

Proof of Theorem neifg
Dummy variables 𝑢 𝑡 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neifg.1 . . . 4 𝑋 = 𝐽
21opnfbas 21867 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → {𝑥𝐽𝑆𝑥} ∈ (fBas‘𝑋))
3 fgval 21895 . . 3 ({𝑥𝐽𝑆𝑥} ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑋filGen{𝑥𝐽𝑆𝑥}) = {𝑡 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑥𝐽𝑆𝑥} ∩ 𝒫 𝑡) ≠ ∅})
42, 3syl 17 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → (𝑋filGen{𝑥𝐽𝑆𝑥}) = {𝑡 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑥𝐽𝑆𝑥} ∩ 𝒫 𝑡) ≠ ∅})
5 pweq 4305 . . . . . . 7 (𝑡 = 𝑢 → 𝒫 𝑡 = 𝒫 𝑢)
65ineq2d 3957 . . . . . 6 (𝑡 = 𝑢 → ({𝑥𝐽𝑆𝑥} ∩ 𝒫 𝑡) = ({𝑥𝐽𝑆𝑥} ∩ 𝒫 𝑢))
76neeq1d 2991 . . . . 5 (𝑡 = 𝑢 → (({𝑥𝐽𝑆𝑥} ∩ 𝒫 𝑡) ≠ ∅ ↔ ({𝑥𝐽𝑆𝑥} ∩ 𝒫 𝑢) ≠ ∅))
87elrab 3504 . . . 4 (𝑢 ∈ {𝑡 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑥𝐽𝑆𝑥} ∩ 𝒫 𝑡) ≠ ∅} ↔ (𝑢 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ({𝑥𝐽𝑆𝑥} ∩ 𝒫 𝑢) ≠ ∅))
9 selpw 4309 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ 𝒫 𝑋𝑢𝑋)
109a1i 11 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → (𝑢 ∈ 𝒫 𝑋𝑢𝑋))
11 n0 4074 . . . . . . . 8 (({𝑥𝐽𝑆𝑥} ∩ 𝒫 𝑢) ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ ({𝑥𝐽𝑆𝑥} ∩ 𝒫 𝑢))
12 elin 3939 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ({𝑥𝐽𝑆𝑥} ∩ 𝒫 𝑢) ↔ (𝑧 ∈ {𝑥𝐽𝑆𝑥} ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑢))
13 sseq2 3768 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑧 → (𝑆𝑥𝑆𝑧))
1413elrab 3504 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ {𝑥𝐽𝑆𝑥} ↔ (𝑧𝐽𝑆𝑧))
15 selpw 4309 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ 𝒫 𝑢𝑧𝑢)
1614, 15anbi12i 735 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ {𝑥𝐽𝑆𝑥} ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑢) ↔ ((𝑧𝐽𝑆𝑧) ∧ 𝑧𝑢))
1712, 16bitri 264 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ({𝑥𝐽𝑆𝑥} ∩ 𝒫 𝑢) ↔ ((𝑧𝐽𝑆𝑧) ∧ 𝑧𝑢))
1817exbii 1923 . . . . . . . 8 (∃𝑧 𝑧 ∈ ({𝑥𝐽𝑆𝑥} ∩ 𝒫 𝑢) ↔ ∃𝑧((𝑧𝐽𝑆𝑧) ∧ 𝑧𝑢))
1911, 18bitri 264 . . . . . . 7 (({𝑥𝐽𝑆𝑥} ∩ 𝒫 𝑢) ≠ ∅ ↔ ∃𝑧((𝑧𝐽𝑆𝑧) ∧ 𝑧𝑢))
2019a1i 11 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → (({𝑥𝐽𝑆𝑥} ∩ 𝒫 𝑢) ≠ ∅ ↔ ∃𝑧((𝑧𝐽𝑆𝑧) ∧ 𝑧𝑢)))
2110, 20anbi12d 749 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → ((𝑢 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ({𝑥𝐽𝑆𝑥} ∩ 𝒫 𝑢) ≠ ∅) ↔ (𝑢𝑋 ∧ ∃𝑧((𝑧𝐽𝑆𝑧) ∧ 𝑧𝑢))))
221isnei 21129 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ (𝑢𝑋 ∧ ∃𝑧𝐽 (𝑆𝑧𝑧𝑢))))
23223adant3 1127 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → (𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ (𝑢𝑋 ∧ ∃𝑧𝐽 (𝑆𝑧𝑧𝑢))))
24 anass 684 . . . . . . . . 9 (((𝑧𝐽𝑆𝑧) ∧ 𝑧𝑢) ↔ (𝑧𝐽 ∧ (𝑆𝑧𝑧𝑢)))
2524exbii 1923 . . . . . . . 8 (∃𝑧((𝑧𝐽𝑆𝑧) ∧ 𝑧𝑢) ↔ ∃𝑧(𝑧𝐽 ∧ (𝑆𝑧𝑧𝑢)))
26 df-rex 3056 . . . . . . . 8 (∃𝑧𝐽 (𝑆𝑧𝑧𝑢) ↔ ∃𝑧(𝑧𝐽 ∧ (𝑆𝑧𝑧𝑢)))
2725, 26bitr4i 267 . . . . . . 7 (∃𝑧((𝑧𝐽𝑆𝑧) ∧ 𝑧𝑢) ↔ ∃𝑧𝐽 (𝑆𝑧𝑧𝑢))
2827anbi2i 732 . . . . . 6 ((𝑢𝑋 ∧ ∃𝑧((𝑧𝐽𝑆𝑧) ∧ 𝑧𝑢)) ↔ (𝑢𝑋 ∧ ∃𝑧𝐽 (𝑆𝑧𝑧𝑢)))
2923, 28syl6rbbr 279 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → ((𝑢𝑋 ∧ ∃𝑧((𝑧𝐽𝑆𝑧) ∧ 𝑧𝑢)) ↔ 𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
3021, 29bitrd 268 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → ((𝑢 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ({𝑥𝐽𝑆𝑥} ∩ 𝒫 𝑢) ≠ ∅) ↔ 𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
318, 30syl5bb 272 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → (𝑢 ∈ {𝑡 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑥𝐽𝑆𝑥} ∩ 𝒫 𝑡) ≠ ∅} ↔ 𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
3231eqrdv 2758 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → {𝑡 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑥𝐽𝑆𝑥} ∩ 𝒫 𝑡) ≠ ∅} = ((nei‘𝐽)‘𝑆))
334, 32eqtrd 2794 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → (𝑋filGen{𝑥𝐽𝑆𝑥}) = ((nei‘𝐽)‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wex 1853  wcel 2139  wne 2932  wrex 3051  {crab 3054  cin 3714  wss 3715  c0 4058  𝒫 cpw 4302   cuni 4588  cfv 6049  (class class class)co 6814  fBascfbas 19956  filGencfg 19957  Topctop 20920  neicnei 21123
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-fbas 19965  df-fg 19966  df-top 20921  df-nei 21124
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator