MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negsubdi2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem negsubdi2d 10521
Description: Distribution of negative over subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
negsubdi2d (𝜑 → -(𝐴𝐵) = (𝐵𝐴))

Proof of Theorem negsubdi2d
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 pncand.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 negsubdi2 10453 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐴𝐵) = (𝐵𝐴))
41, 2, 3syl2anc 696 1 (𝜑 → -(𝐴𝐵) = (𝐵𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1596  wcel 2103  (class class class)co 6765  cc 10047  cmin 10379  -cneg 10380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-op 4292  df-uni 4545  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-id 5128  df-po 5139  df-so 5140  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-ltxr 10192  df-sub 10381  df-neg 10382
This theorem is referenced by:  cjneg  14007  icodiamlt  14294  geo2sum2  14725  bpoly3  14909  sinneg  14996  sinhval  15004  vitalilem1  23497  vitalilem2  23498  itgneg  23690  dvrec  23838  dvferm2lem  23869  dvfsumge  23905  dvfsumlem2  23910  dvfsum2  23917  ftc1lem5  23923  ftc2ditg  23929  plyeq0lem  24086  efif1olem2  24409  ang180  24664  isosctrlem3  24670  isosctr  24671  angpieqvdlem  24675  chordthmlem  24679  mcubic  24694  quart1lem  24702  quartlem1  24704  atanneg  24754  atancj  24757  efiatan  24759  atanlogsub  24763  efiatan2  24764  2efiatan  24765  atantan  24770  atanbndlem  24772  pntrsumo1  25374  pntrlog2bndlem2  25387  pntrlog2bndlem4  25389  pntibndlem2  25400  brbtwn2  25905  colinearalglem4  25909  axsegconlem9  25925  dipcj  27799  bcm1n  29784  signsplypnf  30857  fsum2dsub  30915  dnibndlem11  32705  itg2addnclem3  33695  itg2gt0cn  33697  congsym  37954  cvgdvgrat  38931  negsubdi3d  39922  lptre2pt  40292  liminflimsupclim  40459  stoweidlem13  40650  dirkertrigeqlem2  40736  fourierdlem26  40770  fourierdlem89  40832  fourierdlem90  40833  fourierdlem91  40834  fourierdlem107  40850  etransclem23  40894  sharhght  41477  sigaradd  41478  cevathlem2  41480  fmtnorec3  41887
  Copyright terms: Public domain W3C validator