MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negsubd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem negsubd 10611
Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
negsubd (𝜑 → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴𝐵))

Proof of Theorem negsubd
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 pncand.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 negsub 10542 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴𝐵))
41, 2, 3syl2anc 696 1 (𝜑 → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1632  wcel 2140  (class class class)co 6815  cc 10147   + caddc 10152  cmin 10479  -cneg 10480
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-op 4329  df-uni 4590  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-id 5175  df-po 5188  df-so 5189  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-ltxr 10292  df-sub 10481  df-neg 10482
This theorem is referenced by:  mulsub  10686  divsubdir  10934  divsubdiv  10954  ofnegsub  11231  icoshftf1o  12509  fzosubel  12742  modsub12d  12942  expaddzlem  13118  binom2sub  13196  discr  13216  cjreb  14083  recj  14084  remullem  14088  imcj  14092  sqreulem  14319  subcn2  14545  lo1sub  14581  iseraltlem2  14633  iseraltlem3  14634  fsumshftm  14733  fsumsub  14740  incexclem  14788  incexc  14789  bpoly3  15009  efmival  15103  cosadd  15115  sinsub  15118  sincossq  15126  moddvds  15214  dvdsadd2b  15251  bitsres  15418  pythagtriplem4  15747  mulgdirlem  17794  mulgmodid  17803  mulgsubdir  17804  cnsubrg  20029  zringlpirlem3  20057  cphipval  23263  pjthlem1  23429  mbfsub  23649  mbfmulc2  23650  itg2monolem1  23737  itgcnlem  23776  iblsub  23808  itgsub  23812  itgmulc2  23820  dvmptsub  23950  dvmptdiv  23957  dvexp3  23961  dvsincos  23964  dvlipcn  23977  ftc2  24027  aaliou3lem6  24323  logdiv2  24584  tanarg  24586  advlogexp  24622  cxpsub  24649  abscxpbnd  24715  relogbdiv  24738  isosctrlem2  24770  angpieqvdlem  24776  quad2  24787  dcubic1lem  24791  dcubic2  24792  dcubic  24794  mcubic  24795  dquartlem2  24800  dquart  24801  quart1lem  24803  quartlem1  24805  quart  24809  asinlem2  24817  cosasin  24852  atanlogsublem  24863  atantan  24871  atantayl2  24886  ftalem5  25024  basellem9  25036  lgseisenlem1  25321  2sqlem4  25367  rpvmasum2  25422  log2sumbnd  25454  chpdifbndlem1  25463  pntpbnd1  25496  axsegconlem9  26026  axeuclidlem  26063  smcnlem  27883  ipval2  27893  ipasslem2  28018  dipsubdir  28034  his2sub  28280  pjhthlem1  28581  circlemeth  31049  logdivsqrle  31059  fwddifnp1  32600  knoppndvlem2  32832  itg2gt0cn  33797  iblsubnc  33803  itgsubnc  33804  itgmulc2nc  33810  ftc1anclem8  33824  ftc2nc  33826  areacirclem1  33832  mzpsubmpt  37827  pellexlem6  37919  pell1234qrreccl  37939  pellfund14  37983  rmxyneg  38006  rmxm1  38020  rmym1  38021  congsub  38058  jm2.19lem1  38077  jm2.19lem4  38080  jm2.19  38081  jm2.26lem3  38089  sineq0ALT  39691  sub2times  40003  fzisoeu  40032  supsubc  40086  sublimc  40406  reclimc  40407  itgsincmulx  40712  itgsbtaddcnst  40720  stoweidlem10  40749  stoweidlem13  40752  stoweidlem22  40761  stoweidlem23  40762  stoweidlem26  40765  stoweidlem42  40781  stoweidlem47  40786  stirlinglem5  40817  dirkertrigeqlem2  40838  fourierdlem26  40872  fourierdlem36  40882  fourierdlem40  40886  fourierdlem41  40887  fourierdlem48  40893  fourierdlem49  40894  fourierdlem64  40909  fourierdlem78  40923  fourierdlem92  40937  fourierdlem97  40942  fourierdlem101  40946  fourierdlem107  40952  etransclem17  40990  etransclem46  41019  sigarperm  41574  dignn0flhalflem1  42938
  Copyright terms: Public domain W3C validator