MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem negsub 10513
Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
negsub ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴𝐵))

Proof of Theorem negsub
StepHypRef Expression
1 df-neg 10453 . . . 4 -𝐵 = (0 − 𝐵)
21oveq2i 6816 . . 3 (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵))
32a1i 11 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
4 0cn 10216 . . 3 0 ∈ ℂ
5 addsubass 10475 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
64, 5mp3an2 1553 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
7 simpl 474 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
87addid1d 10420 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 0) = 𝐴)
98oveq1d 6820 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴𝐵))
103, 6, 93eqtr2d 2792 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1624  wcel 2131  (class class class)co 6805  cc 10118  0cc0 10120   + caddc 10123  cmin 10450  -cneg 10451
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-op 4320  df-uni 4581  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-id 5166  df-po 5179  df-so 5180  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-ltxr 10263  df-sub 10452  df-neg 10453
This theorem is referenced by:  negdi2  10523  negsubdi2  10524  resubcli  10527  resubcl  10529  negsubi  10543  negsubd  10582  submul2  10654  addneg1mul  10656  mulsub  10657  divsubdir  10905  difgtsumgt  11530  elz2  11578  zsubcl  11603  qsubcl  11992  rexsub  12249  fzsubel  12562  ceim1l  12832  modcyc2  12892  negmod  12901  modsumfzodifsn  12929  expsub  13094  binom2sub  13167  seqshft  14016  resub  14058  imsub  14066  cjsub  14080  cjreim  14091  absdiflt  14248  absdifle  14249  abs2dif2  14264  subcn2  14516  bpoly2  14979  bpoly3  14980  efsub  15021  efi4p  15058  sinsub  15089  cossub  15090  demoivreALT  15122  dvdssub  15220  modgcd  15447  gzsubcl  15838  psgnunilem2  18107  cnfldsub  19968  itg1sub  23667  plyremlem  24250  sineq0  24464  logneg2  24552  ang180lem2  24731  asinsin  24810  atanneg  24825  atancj  24828  atanlogadd  24832  atanlogsublem  24833  atanlogsub  24834  2efiatan  24836  tanatan  24837  cosatan  24839  atans2  24849  dvatan  24853  zetacvg  24932  wilthlem1  24985  wilthlem2  24986  basellem8  25005  lgsvalmod  25232  cnnvm  27838  cncph  27975  hvsubdistr2  28208  lnfnsubi  29206  subfacval2  31468  itg2addnclem3  33768  pellexlem6  37892  pell14qrdich  37927  rmxm1  37993  rmym1  37994  omoeALTV  42098  omeoALTV  42099  emoo  42115  emee  42117  zlmodzxzequap  42790  flsubz  42814
  Copyright terms: Public domain W3C validator