MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negnegd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem negnegd 10421
Description: A number is equal to the negative of its negative. Theorem I.4 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
negidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
negnegd (𝜑 → --𝐴 = 𝐴)

Proof of Theorem negnegd
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 negneg 10369 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → --𝐴 = 𝐴)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → --𝐴 = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1523  wcel 2030  cc 9972  -cneg 10305
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-ltxr 10117  df-sub 10306  df-neg 10307
This theorem is referenced by:  negn0  10497  ltnegcon1  10567  ltnegcon2  10568  lenegcon1  10570  lenegcon2  10571  negfi  11009  fiminre  11010  infm3lem  11019  infrenegsup  11044  zeo  11501  zindd  11516  znnn0nn  11527  supminf  11813  zsupss  11815  max0sub  12065  xnegneg  12083  ceilid  12690  expneg  12908  expaddzlem  12943  expaddz  12944  cjcj  13924  cnpart  14024  risefallfac  14799  sincossq  14950  bitsf1  15215  pcid  15624  4sqlem10  15698  mulgnegnn  17598  mulgsubcl  17602  mulgneg  17607  mulgz  17615  mulgass  17626  ghmmulg  17719  cyggeninv  18331  tgpmulg  21944  xrhmeo  22792  cphsqrtcl3  23033  iblneg  23614  itgneg  23615  ditgswap  23668  lhop2  23823  vieta1lem2  24111  ptolemy  24293  tanabsge  24303  tanord  24329  tanregt0  24330  lognegb  24381  logtayl  24451  logtayl2  24453  cxpmul2z  24482  isosctrlem2  24594  dcubic  24618  dquart  24625  atans2  24703  amgmlem  24761  lgamucov  24809  basellem5  24856  basellem9  24860  lgsdir2lem4  25098  dchrisum0flblem1  25242  ostth3  25372  ipasslem3  27816  ftc1anclem6  33620  rexzrexnn0  37685  acongsym  37860  acongneg2  37861  acongtr  37862  binomcxplemnotnn0  38872  infnsuprnmpt  39779  ltmulneg  39928  rexabslelem  39958  supminfrnmpt  39985  leneg2d  39989  leneg3d  40000  supminfxr  40007  climliminflimsupd  40351  itgsin0pilem1  40483  itgsinexplem1  40487  itgsincmulx  40508  stoweidlem13  40548  fourierdlem39  40681  fourierdlem43  40685  fourierdlem44  40686  etransclem46  40815  hoicvr  41083  smfinflem  41344  sigariz  41373  sigaradd  41376  amgmwlem  42876
  Copyright terms: Public domain W3C validator