Theorem negne0i 10556

Description: The negative of a nonzero number is nonzero. (Contributed by NM, 30-Jul-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidi.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
negne0i.2	⊢ 𝐴 ≠ 0

Assertion

Ref	Expression
negne0i	⊢ -𝐴 ≠ 0

Proof of Theorem negne0i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negne0i.2	. 2 ⊢ 𝐴 ≠ 0
2		negidi.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
3	2	negne0bi 10554	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ 0 ↔ -𝐴 ≠ 0)
4	1, 3	mpbi 220	1 ⊢ -𝐴 ≠ 0

Syntax hints:   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2941  ℂcc 10134  0cc0 10136  -cneg 10467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1868  ax-4 1883  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2145  ax-9 2152  ax-10 2172  ax-11 2188  ax-12 2201  ax-13 2406  ax-ext 2749  ax-sep 4911  ax-nul 4919  ax-pow 4970  ax-pr 5033  ax-un 7094  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1632  df-ex 1851  df-nf 1856  df-sb 2048  df-eu 2620  df-mo 2621  df-clab 2756  df-cleq 2762  df-clel 2765  df-nfc 2900  df-ne 2942  df-nel 3045  df-ral 3064  df-rex 3065  df-reu 3066  df-rab 3068  df-v 3350  df-sbc 3585  df-csb 3680  df-dif 3723  df-un 3725  df-in 3727  df-ss 3734  df-nul 4061  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-op 4320  df-uni 4572  df-br 4784  df-opab 4844  df-mpt 4861  df-id 5156  df-po 5169  df-so 5170  df-xp 5254  df-rel 5255  df-cnv 5256  df-co 5257  df-dm 5258  df-rn 5259  df-res 5260  df-ima 5261  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-er 7894  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-ltxr 10279  df-sub 10468  df-neg 10469

This theorem is referenced by:  neg1ne0  11326  iblcnlem1  23780  itgcnlem  23782  dvsincos  23970  tanregt0  24512  tanatan  24873  atantayl2  24892