MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negiso Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem negiso 11205
Description: Negation is an order anti-isomorphism of the real numbers, which is its own inverse. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
negiso.1 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -𝑥)
Assertion
Ref Expression
negiso (𝐹 Isom < , < (ℝ, ℝ) ∧ 𝐹 = 𝐹)

Proof of Theorem negiso
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 negiso.1 . . . . . 6 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -𝑥)
2 simpr 471 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
32renegcld 10659 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → -𝑥 ∈ ℝ)
4 simpr 471 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
54renegcld 10659 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → -𝑦 ∈ ℝ)
6 recn 10228 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
7 recn 10228 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
8 negcon2 10536 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 = -𝑦𝑦 = -𝑥))
96, 7, 8syl2an 583 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 = -𝑦𝑦 = -𝑥))
109adantl 467 . . . . . 6 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 = -𝑦𝑦 = -𝑥))
111, 3, 5, 10f1ocnv2d 7033 . . . . 5 (⊤ → (𝐹:ℝ–1-1-onto→ℝ ∧ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ -𝑦)))
1211trud 1641 . . . 4 (𝐹:ℝ–1-1-onto→ℝ ∧ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ -𝑦))
1312simpli 470 . . 3 𝐹:ℝ–1-1-onto→ℝ
14 ltneg 10730 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 < 𝑦 ↔ -𝑦 < -𝑧))
15 negex 10481 . . . . . . 7 -𝑧 ∈ V
16 negex 10481 . . . . . . 7 -𝑦 ∈ V
1715, 16brcnv 5443 . . . . . 6 (-𝑧 < -𝑦 ↔ -𝑦 < -𝑧)
1814, 17syl6bbr 278 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 < 𝑦 ↔ -𝑧 < -𝑦))
19 negeq 10475 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → -𝑥 = -𝑧)
2019, 1, 15fvmpt 6424 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℝ → (𝐹𝑧) = -𝑧)
21 negeq 10475 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → -𝑥 = -𝑦)
2221, 1, 16fvmpt 6424 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℝ → (𝐹𝑦) = -𝑦)
2320, 22breqan12d 4802 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑧) < (𝐹𝑦) ↔ -𝑧 < -𝑦))
2418, 23bitr4d 271 . . . 4 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 < 𝑦 ↔ (𝐹𝑧) < (𝐹𝑦)))
2524rgen2a 3126 . . 3 𝑧 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑧 < 𝑦 ↔ (𝐹𝑧) < (𝐹𝑦))
26 df-isom 6040 . . 3 (𝐹 Isom < , < (ℝ, ℝ) ↔ (𝐹:ℝ–1-1-onto→ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑧 < 𝑦 ↔ (𝐹𝑧) < (𝐹𝑦))))
2713, 25, 26mpbir2an 690 . 2 𝐹 Isom < , < (ℝ, ℝ)
28 negeq 10475 . . . 4 (𝑦 = 𝑥 → -𝑦 = -𝑥)
2928cbvmptv 4884 . . 3 (𝑦 ∈ ℝ ↦ -𝑦) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -𝑥)
3012simpri 473 . . 3 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ -𝑦)
3129, 30, 13eqtr4i 2803 . 2 𝐹 = 𝐹
3227, 31pm3.2i 447 1 (𝐹 Isom < , < (ℝ, ℝ) ∧ 𝐹 = 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wtru 1632  wcel 2145  wral 3061   class class class wbr 4786  cmpt 4863  ccnv 5248  1-1-ontowf1o 6030  cfv 6031   Isom wiso 6032  cc 10136  cr 10137   < clt 10276  -cneg 10469
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471
This theorem is referenced by:  infrenegsup  11208
  Copyright terms: Public domain W3C validator