MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem negf1o 10445
Description: Negation is an isomorphism of a subset of the real numbers to the negated elements of the subset. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
negf1o.1 𝐹 = (𝑥𝐴 ↦ -𝑥)
Assertion
Ref Expression
negf1o (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐹:𝐴1-1-onto→{𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴})
Distinct variable group:   𝐴,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem negf1o
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 negf1o.1 . . 3 𝐹 = (𝑥𝐴 ↦ -𝑥)
2 ssel 3589 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥𝐴𝑥 ∈ ℝ))
3 renegcl 10329 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ)
42, 3syl6 35 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥𝐴 → -𝑥 ∈ ℝ))
54imp 445 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → -𝑥 ∈ ℝ)
62imp 445 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
7 recn 10011 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
8 negneg 10316 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ → --𝑥 = 𝑥)
98eqcomd 2626 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥 = --𝑥)
107, 9syl 17 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 = --𝑥)
1110eleq1d 2684 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥𝐴 ↔ --𝑥𝐴))
1211biimpcd 239 . . . . . 6 (𝑥𝐴 → (𝑥 ∈ ℝ → --𝑥𝐴))
1312adantl 482 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 ∈ ℝ → --𝑥𝐴))
146, 13mpd 15 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → --𝑥𝐴)
15 negeq 10258 . . . . . 6 (𝑛 = -𝑥 → -𝑛 = --𝑥)
1615eleq1d 2684 . . . . 5 (𝑛 = -𝑥 → (-𝑛𝐴 ↔ --𝑥𝐴))
1716elrab 3357 . . . 4 (-𝑥 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴} ↔ (-𝑥 ∈ ℝ ∧ --𝑥𝐴))
185, 14, 17sylanbrc 697 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → -𝑥 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴})
19 negeq 10258 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑦 → -𝑛 = -𝑦)
2019eleq1d 2684 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑦 → (-𝑛𝐴 ↔ -𝑦𝐴))
2120elrab 3357 . . . . 5 (𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴} ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦𝐴))
22 simpr 477 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦𝐴) → -𝑦𝐴)
2322a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦𝐴) → -𝑦𝐴))
2421, 23syl5bi 232 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴} → -𝑦𝐴))
2524imp 445 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴}) → -𝑦𝐴)
262, 7syl6com 37 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐴 → (𝐴 ⊆ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ))
2726adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐴 ⊆ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ))
2827imp 445 . . . . . . . 8 ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦𝐴) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
29 recn 10011 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
3029ad3antrrr 765 . . . . . . . 8 ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦𝐴) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
31 negcon2 10319 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 = -𝑦𝑦 = -𝑥))
3228, 30, 31syl2anc 692 . . . . . . 7 ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦𝐴) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑥 = -𝑦𝑦 = -𝑥))
3332exp31 629 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦𝐴) → (𝑥𝐴 → (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥 = -𝑦𝑦 = -𝑥))))
3421, 33sylbi 207 . . . . 5 (𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴} → (𝑥𝐴 → (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥 = -𝑦𝑦 = -𝑥))))
3534impcom 446 . . . 4 ((𝑥𝐴𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴}) → (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥 = -𝑦𝑦 = -𝑥)))
3635impcom 446 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴})) → (𝑥 = -𝑦𝑦 = -𝑥))
371, 18, 25, 36f1ocnv2d 6871 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐹:𝐴1-1-onto→{𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴} ∧ 𝐹 = (𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴} ↦ -𝑦)))
3837simpld 475 1 (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐹:𝐴1-1-onto→{𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  {crab 2913  wss 3567  cmpt 4720  ccnv 5103  1-1-ontowf1o 5875  cc 9919  cr 9920  -cneg 10252
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-po 5025  df-so 5026  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-ltxr 10064  df-sub 10253  df-neg 10254
This theorem is referenced by:  negfi  10956
  Copyright terms: Public domain W3C validator