MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem negcld 10417
Description: Closure law for negative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
negidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
negcld (𝜑 → -𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem negcld
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 negcl 10319 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → -𝐴 ∈ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2030  cc 9972  -cneg 10305
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-ltxr 10117  df-sub 10306  df-neg 10307
This theorem is referenced by:  negcon1ad  10425  recextlem1  10695  mul2lt0rlt0  11970  xov1plusxeqvd  12356  ceim1l  12686  modnegd  12765  expaddzlem  12943  cjreb  13907  sqrtneg  14052  max0add  14094  iseraltlem2  14457  iseraltlem3  14458  fsumsub  14564  telfsumo2  14579  incexc  14613  incexc2  14614  fallrisefac  14800  binomrisefac  14817  efi4p  14911  oexpneg  15116  bitscmp  15207  bitsf1  15215  pcadd2  15641  gznegcl  15686  mulgdirlem  17619  mulgdir  17620  znunit  19960  cphsqrtcl2  23032  pjthlem1  23254  mbfsub  23474  iblcnlem1  23599  itgcnlem  23601  iblneg  23614  itgneg  23615  iblsub  23633  itgsub  23637  ditgcl  23667  dvrec  23763  dvmptsub  23775  dvrecg  23781  dvmptdiv  23782  dvsincos  23789  rolle  23798  vieta1lem2  24111  vieta1  24112  sinmpi  24284  cosmpi  24285  sinppi  24286  cosppi  24287  tanabsge  24303  efeq1  24320  tanord  24329  logtayl  24451  logtayl2  24453  logccv  24454  cxpneg  24472  cxpmul2z  24482  logreclem  24545  cosangneg2d  24582  isosctrlem2  24594  isosctrlem3  24595  angpieqvdlem  24600  quad2  24611  dcubic1lem  24615  dcubic2  24616  dcubic  24618  mcubic  24619  dquartlem1  24623  dquartlem2  24624  dquart  24625  quartlem1  24629  quartlem2  24630  quartlem3  24631  quartlem4  24632  quart  24633  asinlem  24640  asinlem2  24641  asinneg  24658  sinasin  24661  cosasin  24676  atandmneg  24678  tanatan  24691  atandmtan  24692  atantan  24695  atantayl  24709  zetacvg  24786  dmgmaddnn0  24798  lgamgulmlem2  24801  lgamgulmlem4  24803  lgambdd  24808  lgamucov  24809  ftalem4  24847  ftalem5  24848  ftalem7  24850  basellem5  24856  chpdifbndlem1  25287  padicabvcxp  25366  brbtwn2  25830  ipasslem2  27815  pjhthlem1  28378  divnumden2  29692  archirngz  29871  madjusmdetlem4  30024  circlemeth  30846  logdivsqrle  30856  poimirlem29  33568  dvtan  33590  itg2addnclem3  33593  iblsubnc  33601  itgsubnc  33602  itgmulc2nc  33608  ftc1anclem5  33619  ftc1anclem8  33622  dvasin  33626  areacirclem1  33630  pell1234qrreccl  37735  pell14qrdich  37750  rmxyneg  37802  acongsym  37860  jm2.26a  37884  jm2.26lem3  37885  expgrowth  38851  binomcxplemdvbinom  38869  binomcxplemnotnn0  38872  sineq0ALT  39487  fzisoeu  39828  fperiodmul  39832  isumneg  40152  climneg  40160  neglimc  40197  sublimc  40202  reclimc  40203  dvcosre  40444  dvcosax  40459  itgsin0pilem1  40483  itgsinexplem1  40487  itgsincmulx  40508  stoweidlem13  40548  stirlinglem5  40613  dirkertrigeqlem3  40635  fourierdlem30  40672  fourierdlem39  40681  fourierdlem40  40682  fourierdlem41  40683  fourierdlem43  40685  fourierdlem47  40688  fourierdlem48  40689  fourierdlem49  40690  fourierdlem73  40714  fourierdlem78  40719  fourierdlem92  40733  fourierdlem101  40742  fourierdlem103  40744  fourierdlem111  40752  sqwvfoura  40763  fouriersw  40766  etransclem17  40786  etransclem18  40787  etransclem23  40792  etransclem46  40815  sigarms  41366  sigaradd  41376  oexpnegALTV  41913  oexpnegnz  41914  2zrngagrp  42268  altgsumbc  42455  dignn0flhalflem1  42734  amgmwlem  42876
  Copyright terms: Public domain W3C validator