MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem negcl 10483
Description: Closure law for negative. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.)
Assertion
Ref Expression
negcl (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem negcl
StepHypRef Expression
1 df-neg 10471 . 2 -𝐴 = (0 − 𝐴)
2 0cn 10234 . . 3 0 ∈ ℂ
3 subcl 10482 . . 3 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
42, 3mpan 670 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
51, 4syl5eqel 2854 1 (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2145  (class class class)co 6793  cc 10136  0cc0 10138  cmin 10468  -cneg 10469
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-ltxr 10281  df-sub 10470  df-neg 10471
This theorem is referenced by:  negicn  10484  negcon1  10535  negdi  10540  negdi2  10541  negsubdi2  10542  neg2sub  10543  negcli  10551  negcld  10581  mulneg2  10669  mul2neg  10671  mulsub  10675  divneg  10921  divsubdir  10923  divsubdiv  10943  eqneg  10947  div2neg  10950  divneg2  10951  zeo  11665  sqneg  13130  binom2sub  13188  shftval4  14025  shftcan1  14031  shftcan2  14032  crim  14063  resub  14075  imsub  14083  cjneg  14095  cjsub  14097  absneg  14225  abs2dif2  14281  sqreulem  14307  sqreu  14308  subcn2  14533  risefallfac  14961  fallrisefac  14962  fallfac0  14965  binomrisefac  14979  efcan  15032  efne0  15033  efneg  15034  efsub  15036  sinneg  15082  cosneg  15083  tanneg  15084  efmival  15089  sinhval  15090  coshval  15091  sinsub  15104  cossub  15105  sincossq  15112  cnaddablx  18478  cnaddabl  18479  cnaddinv  18481  cncrng  19982  cnfldneg  19987  cnlmod  23159  cnstrcvs  23160  cncvs  23164  plyremlem  24279  reeff1o  24421  sin2pim  24458  cos2pim  24459  cxpsub  24649  cxpsqrt  24670  logrec  24722  asinlem3  24819  asinneg  24834  acosneg  24835  sinasin  24837  asinsin  24840  cosasin  24852  atantan  24871  ex-exp  27649  cnaddabloOLD  27776  hvsubdistr2  28247  spanunsni  28778  ltflcei  33730  dvasin  33828  sub2times  40003  cosknegpi  40598  etransclem18  40986  etransclem46  41014  altgsumbcALT  42659  sinhpcosh  43012
  Copyright terms: Public domain W3C validator