Theorem ndxarg 16089

Description: Get the numeric argument from a defined structure component extractor such as df-base 16070. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ndxarg.1	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
ndxarg.2	⊢ 𝑁 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
ndxarg	⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁

Proof of Theorem ndxarg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ndx 16067	. . . 4 ⊢ ndx = ( I ↾ ℕ)
2		nnex 11232	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ V
3		resiexg 7253	. . . . 5 ⊢ (ℕ ∈ V → ( I ↾ ℕ) ∈ V)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( I ↾ ℕ) ∈ V
5	1, 4	eqeltri 2846	. . 3 ⊢ ndx ∈ V
6		ndxarg.1	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
7	5, 6	strfvn 16086	. 2 ⊢ (𝐸‘ndx) = (ndx‘𝑁)
8	1	fveq1i 6334	. 2 ⊢ (ndx‘𝑁) = (( I ↾ ℕ)‘𝑁)
9		ndxarg.2	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
10		fvresi 6586	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (( I ↾ ℕ)‘𝑁) = 𝑁)
11	9, 10	ax-mp 5	. 2 ⊢ (( I ↾ ℕ)‘𝑁) = 𝑁
12	7, 8, 11	3eqtri 2797	1 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁

Syntax hints:   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  Vcvv 3351   I cid 5157   ↾ cres 5252  ‘cfv 6030  ℕcn 11226  ndxcnx 16061  Slot cslot 16063

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-ov 6799  df-om 7217  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-nn 11227  df-ndx 16067  df-slot 16068

This theorem is referenced by:  ndxid  16090  ndxidOLD  16091  basendx  16130  basendxnn  16131  resslem  16140  plusgndx  16184  2strstr  16191  2strstr1  16194  2strop1  16196  basendxnplusgndx  16197  mulrndx  16204  basendxnmulrndx  16207  starvndx  16212  scandx  16221  vscandx  16223  ipndx  16230  tsetndx  16248  plendx  16255  plendxOLD  16256  ocndx  16268  dsndx  16270  unifndx  16272  homndx  16282  ccondx  16284  slotsbhcdif  16288  oppglem  17987  mgplem  18702  opprlem  18836  rmodislmod  19141  sralem  19392  opsrbaslem  19692  opsrbaslemOLD  19693  zlmlem  20080  znbaslem  20101  znbaslemOLD  20102  tnglem  22664  itvndx  25560  lngndx  25561  ttglem  25977  cchhllem  25988  edgfndxnn  26091  baseltedgf  26093  resvlem  30171  hlhilslem  37748