MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ndvdsi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ndvdsi 15365
Description: A quick test for non-divisibility. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ndvdsi.1 𝐴 ∈ ℕ
ndvdsi.2 𝑄 ∈ ℕ0
ndvdsi.3 𝑅 ∈ ℕ
ndvdsi.4 ((𝐴 · 𝑄) + 𝑅) = 𝐵
ndvdsi.5 𝑅 < 𝐴
Assertion
Ref Expression
ndvdsi ¬ 𝐴𝐵

Proof of Theorem ndvdsi
StepHypRef Expression
1 ndvdsi.1 . . . . 5 𝐴 ∈ ℕ
21nnzi 11625 . . . 4 𝐴 ∈ ℤ
3 ndvdsi.2 . . . . 5 𝑄 ∈ ℕ0
43nn0zi 11626 . . . 4 𝑄 ∈ ℤ
5 dvdsmul1 15234 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℤ) → 𝐴 ∥ (𝐴 · 𝑄))
62, 4, 5mp2an 673 . . 3 𝐴 ∥ (𝐴 · 𝑄)
7 zmulcl 11650 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝑄) ∈ ℤ)
82, 4, 7mp2an 673 . . . 4 (𝐴 · 𝑄) ∈ ℤ
9 ndvdsi.3 . . . . 5 𝑅 ∈ ℕ
10 ndvdsi.5 . . . . 5 𝑅 < 𝐴
119, 10pm3.2i 457 . . . 4 (𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑅 < 𝐴)
12 ndvdsadd 15363 . . . 4 (((𝐴 · 𝑄) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑅 < 𝐴)) → (𝐴 ∥ (𝐴 · 𝑄) → ¬ 𝐴 ∥ ((𝐴 · 𝑄) + 𝑅)))
138, 1, 11, 12mp3an 1575 . . 3 (𝐴 ∥ (𝐴 · 𝑄) → ¬ 𝐴 ∥ ((𝐴 · 𝑄) + 𝑅))
146, 13ax-mp 5 . 2 ¬ 𝐴 ∥ ((𝐴 · 𝑄) + 𝑅)
15 ndvdsi.4 . . 3 ((𝐴 · 𝑄) + 𝑅) = 𝐵
1615breq2i 4805 . 2 (𝐴 ∥ ((𝐴 · 𝑄) + 𝑅) ↔ 𝐴𝐵)
1714, 16mtbi 312 1 ¬ 𝐴𝐵
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1634  wcel 2148   class class class wbr 4797  (class class class)co 6812   + caddc 10162   · cmul 10164   < clt 10297  cn 11243  0cn0 11516  cz 11601  cdvds 15211
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1873  ax-4 1888  ax-5 1994  ax-6 2060  ax-7 2096  ax-8 2150  ax-9 2157  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2206  ax-13 2411  ax-ext 2754  ax-sep 4928  ax-nul 4936  ax-pow 4988  ax-pr 5048  ax-un 7117  ax-cnex 10215  ax-resscn 10216  ax-1cn 10217  ax-icn 10218  ax-addcl 10219  ax-addrcl 10220  ax-mulcl 10221  ax-mulrcl 10222  ax-mulcom 10223  ax-addass 10224  ax-mulass 10225  ax-distr 10226  ax-i2m1 10227  ax-1ne0 10228  ax-1rid 10229  ax-rnegex 10230  ax-rrecex 10231  ax-cnre 10232  ax-pre-lttri 10233  ax-pre-lttrn 10234  ax-pre-ltadd 10235  ax-pre-mulgt0 10236  ax-pre-sup 10237
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 384  df-or 864  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1637  df-ex 1856  df-nf 1861  df-sb 2053  df-eu 2625  df-mo 2626  df-clab 2761  df-cleq 2767  df-clel 2770  df-nfc 2905  df-ne 2947  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3357  df-sbc 3594  df-csb 3689  df-dif 3732  df-un 3734  df-in 3736  df-ss 3743  df-pss 3745  df-nul 4074  df-if 4236  df-pw 4309  df-sn 4327  df-pr 4329  df-tp 4331  df-op 4333  df-uni 4586  df-iun 4667  df-br 4798  df-opab 4860  df-mpt 4877  df-tr 4900  df-id 5171  df-eprel 5176  df-po 5184  df-so 5185  df-fr 5222  df-we 5224  df-xp 5269  df-rel 5270  df-cnv 5271  df-co 5272  df-dm 5273  df-rn 5274  df-res 5275  df-ima 5276  df-pred 5834  df-ord 5880  df-on 5881  df-lim 5882  df-suc 5883  df-iota 6005  df-fun 6044  df-fn 6045  df-f 6046  df-f1 6047  df-fo 6048  df-f1o 6049  df-fv 6050  df-riota 6773  df-ov 6815  df-oprab 6816  df-mpt2 6817  df-om 7234  df-1st 7336  df-2nd 7337  df-wrecs 7580  df-recs 7642  df-rdg 7680  df-er 7917  df-en 8131  df-dom 8132  df-sdom 8133  df-sup 8525  df-inf 8526  df-pnf 10299  df-mnf 10300  df-xr 10301  df-ltxr 10302  df-le 10303  df-sub 10491  df-neg 10492  df-div 10908  df-nn 11244  df-2 11302  df-3 11303  df-n0 11517  df-z 11602  df-uz 11911  df-rp 12053  df-fz 12556  df-seq 13031  df-exp 13090  df-cj 14069  df-re 14070  df-im 14071  df-sqrt 14205  df-abs 14206  df-dvds 15212
This theorem is referenced by:  dec5dvds  15995  5prm  16042  7prm  16044  11prm  16049  13prm  16050  17prm  16051  19prm  16052  23prm  16053  37prm  16055  43prm  16056  83prm  16057  139prm  16058  163prm  16059  317prm  16060  631prm  16061  1259lem5  16069  2503lem3  16073  4001lem4  16078  dcubic1lem  24812  dcubic2  24813  mcubic  24816  257prm  42025  fmtno4nprmfac193  42038  3ndvds4  42062  139prmALT  42063  127prm  42067
  Copyright terms: Public domain W3C validator