Theorem ndmov 6983

Description: The value of an operation outside its domain. (Contributed by NM, 24-Aug-1995.)

Hypothesis

Ref	Expression
ndmov.1	⊢ dom 𝐹 = (𝑆 × 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
ndmov	⊢ (¬ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)

Proof of Theorem ndmov

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ndmov.1	. 2 ⊢ dom 𝐹 = (𝑆 × 𝑆)
2		ndmovg 6982	. 2 ⊢ ((dom 𝐹 = (𝑆 × 𝑆) ∧ ¬ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)
3	1, 2	mpan 708	1 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ∅c0 4058   × cxp 5264  dom cdm 5266  (class class class)co 6813

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-xp 5272  df-dm 5276  df-iota 6012  df-fv 6057  df-ov 6816

This theorem is referenced by:  ndmovcl  6984  ndmovrcl  6985  ndmovcom  6986  ndmovass  6987  ndmovdistr  6988  om0x  7768  oaabs2  7894  omabs  7896  eceqoveq  8019  elpmi  8042  elmapex  8044  pmresg  8051  pmsspw  8058  cdacomen  9195  cdadom1  9200  cdainf  9206  pwcdadom  9230  addnidpi  9915  adderpq  9970  mulerpq  9971  elixx3g  12381  ndmioo  12395  elfz2  12526  fz0  12549  elfzoel1  12662  elfzoel2  12663  fzoval  12665  fzofi  12967  restsspw  16294  fucbas  16821  fuchom  16822  xpcbas  17019  xpchomfval  17020  xpccofval  17023  restrcl  21163  ssrest  21182  resstopn  21192  iocpnfordt  21221  icomnfordt  21222  nghmfval  22727  isnghm  22728  topnfbey  27636  cvmtop1  31549  cvmtop2  31550  ndmico  40296