MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ndmfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ndmfv 6176
Description: The value of a class outside its domain is the empty set. (Contributed by NM, 24-Aug-1995.)
Assertion
Ref Expression
ndmfv 𝐴 ∈ dom 𝐹 → (𝐹𝐴) = ∅)

Proof of Theorem ndmfv
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 euex 2498 . . . . 5 (∃!𝑥 𝐴𝐹𝑥 → ∃𝑥 𝐴𝐹𝑥)
2 eldmg 5284 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ dom 𝐹 ↔ ∃𝑥 𝐴𝐹𝑥))
31, 2syl5ibr 236 . . . 4 (𝐴 ∈ V → (∃!𝑥 𝐴𝐹𝑥𝐴 ∈ dom 𝐹))
43con3d 148 . . 3 (𝐴 ∈ V → (¬ 𝐴 ∈ dom 𝐹 → ¬ ∃!𝑥 𝐴𝐹𝑥))
5 tz6.12-2 6141 . . 3 (¬ ∃!𝑥 𝐴𝐹𝑥 → (𝐹𝐴) = ∅)
64, 5syl6 35 . 2 (𝐴 ∈ V → (¬ 𝐴 ∈ dom 𝐹 → (𝐹𝐴) = ∅))
7 fvprc 6144 . . 3 𝐴 ∈ V → (𝐹𝐴) = ∅)
87a1d 25 . 2 𝐴 ∈ V → (¬ 𝐴 ∈ dom 𝐹 → (𝐹𝐴) = ∅))
96, 8pm2.61i 176 1 𝐴 ∈ dom 𝐹 → (𝐹𝐴) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1992  ∃!weu 2474  Vcvv 3191  c0 3896   class class class wbr 4618  dom cdm 5079  cfv 5850
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-nul 4754  ax-pow 4808
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3193  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-dm 5089  df-iota 5813  df-fv 5858
This theorem is referenced by:  ndmfvrcl  6177  elfvdm  6178  nfvres  6182  fvfundmfvn0  6184  0fv  6185  funfv  6223  fvun1  6227  fvco4i  6234  fvmpti  6239  mptrcl  6247  fvmptss  6250  fvmptex  6252  fvmptnf  6259  fvmptss2  6261  elfvmptrab1  6262  fvopab4ndm  6264  f0cli  6327  funiunfv  6461  ovprc  6637  oprssdm  6769  nssdmovg  6770  ndmovg  6771  1st2val  7142  2nd2val  7143  brovpreldm  7200  curry1val  7216  curry2val  7220  smofvon2  7399  rdgsucmptnf  7471  frsucmptn  7480  brwitnlem  7533  undifixp  7889  r1tr  8584  rankvaln  8607  cardidm  8730  carden2a  8737  carden2b  8738  carddomi2  8741  sdomsdomcardi  8742  pm54.43lem  8770  alephcard  8838  alephnbtwn  8839  alephgeom  8850  cfub  9016  cardcf  9019  cflecard  9020  cfle  9021  cflim2  9030  cfidm  9042  itunisuc  9186  itunitc1  9187  ituniiun  9189  alephadd  9344  alephreg  9349  pwcfsdom  9350  cfpwsdom  9351  adderpq  9723  mulerpq  9724  uzssz  11651  ltweuz  12697  wrdsymb0  13273  lsw0  13286  swrd00  13351  swrd0  13367  sumz  14381  sumss  14383  sumnul  14414  prod1  14594  prodss  14597  divsfval  16123  cidpropd  16286  arwval  16609  coafval  16630  lubval  16900  glbval  16913  joinval  16921  meetval  16935  gsumpropd2lem  17189  mpfrcl  19432  iscnp2  20948  setsmstopn  22188  tngtopn  22359  pcofval  22713  dvbsss  23567  perfdvf  23568  dchrrcl  24860  eleenn  25671  structiedg0val  25806  snstriedgval  25825  rgrx0nd  26354  vsfval  27328  dmadjrnb  28605  hmdmadj  28639  rdgprc0  31388  soseq  31440  nofv  31499  sltres  31506  noseponlem  31510  bdayelon  31524  fvnobday  31526  fullfunfv  31669  linedegen  31865  bj-inftyexpidisj  32703  dibvalrel  35899  dicvalrelN  35921  dihvalrel  36015  itgocn  37182  uz0  39071  climfveq  39273  climfveqf  39284  pfx00  40652  pfx0  40653  setrec2lem1  41688
  Copyright terms: Public domain W3C validator