MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ncvsm1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ncvsm1 23075
Description: The norm of the negative of a vector. (Contributed by NM, 28-Nov-2006.) (Revised by AV, 8-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ncvsprp.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ncvsprp.n 𝑁 = (norm‘𝑊)
ncvsprp.s · = ( ·𝑠𝑊)
Assertion
Ref Expression
ncvsm1 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴𝑉) → (𝑁‘(-1 · 𝐴)) = (𝑁𝐴))

Proof of Theorem ncvsm1
StepHypRef Expression
1 simpl 474 . . 3 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴𝑉) → 𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec))
2 elin 3904 . . . . 5 (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ↔ (𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑊 ∈ ℂVec))
3 id 22 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ ℂVec → 𝑊 ∈ ℂVec)
43cvsclm 23047 . . . . . 6 (𝑊 ∈ ℂVec → 𝑊 ∈ ℂMod)
5 eqid 2724 . . . . . . 7 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
6 eqid 2724 . . . . . . 7 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
75, 6clmneg1 23003 . . . . . 6 (𝑊 ∈ ℂMod → -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
84, 7syl 17 . . . . 5 (𝑊 ∈ ℂVec → -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
92, 8simplbiim 661 . . . 4 (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) → -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
109adantr 472 . . 3 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴𝑉) → -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
11 simpr 479 . . 3 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴𝑉) → 𝐴𝑉)
12 ncvsprp.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
13 ncvsprp.n . . . 4 𝑁 = (norm‘𝑊)
14 ncvsprp.s . . . 4 · = ( ·𝑠𝑊)
1512, 13, 14, 5, 6ncvsprp 23073 . . 3 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐴𝑉) → (𝑁‘(-1 · 𝐴)) = ((abs‘-1) · (𝑁𝐴)))
161, 10, 11, 15syl3anc 1439 . 2 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴𝑉) → (𝑁‘(-1 · 𝐴)) = ((abs‘-1) · (𝑁𝐴)))
17 ax-1cn 10107 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
1817absnegi 14259 . . . . 5 (abs‘-1) = (abs‘1)
19 abs1 14157 . . . . 5 (abs‘1) = 1
2018, 19eqtri 2746 . . . 4 (abs‘-1) = 1
2120oveq1i 6775 . . 3 ((abs‘-1) · (𝑁𝐴)) = (1 · (𝑁𝐴))
22 nvcnlm 22622 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ NrmVec → 𝑊 ∈ NrmMod)
23 nlmngp 22603 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
2422, 23syl 17 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ NrmVec → 𝑊 ∈ NrmGrp)
2524adantr 472 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑊 ∈ ℂVec) → 𝑊 ∈ NrmGrp)
262, 25sylbi 207 . . . . . 6 (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) → 𝑊 ∈ NrmGrp)
2712, 13nmcl 22542 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑉) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
2826, 27sylan 489 . . . . 5 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴𝑉) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
2928recnd 10181 . . . 4 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴𝑉) → (𝑁𝐴) ∈ ℂ)
3029mulid2d 10171 . . 3 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴𝑉) → (1 · (𝑁𝐴)) = (𝑁𝐴))
3121, 30syl5eq 2770 . 2 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴𝑉) → ((abs‘-1) · (𝑁𝐴)) = (𝑁𝐴))
3216, 31eqtrd 2758 1 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴𝑉) → (𝑁‘(-1 · 𝐴)) = (𝑁𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1596  wcel 2103  cin 3679  cfv 6001  (class class class)co 6765  cr 10048  1c1 10050   · cmul 10054  -cneg 10380  abscabs 14094  Basecbs 15980  Scalarcsca 16067   ·𝑠 cvsca 16068  normcnm 22503  NrmGrpcngp 22504  NrmModcnlm 22507  NrmVeccnvc 22508  ℂModcclm 22983  ℂVecccvs 23044
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-inf2 8651  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127  ax-addf 10128  ax-mulf 10129
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-oadd 7684  df-er 7862  df-map 7976  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-sup 8464  df-inf 8465  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-5 11195  df-6 11196  df-7 11197  df-8 11198  df-9 11199  df-n0 11406  df-z 11491  df-dec 11607  df-uz 11801  df-q 11903  df-rp 11947  df-xneg 12060  df-xadd 12061  df-xmul 12062  df-fz 12441  df-seq 12917  df-exp 12976  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-abs 14096  df-struct 15982  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-sets 15987  df-ress 15988  df-plusg 16077  df-mulr 16078  df-starv 16079  df-tset 16083  df-ple 16084  df-ds 16087  df-unif 16088  df-0g 16225  df-topgen 16227  df-mgm 17364  df-sgrp 17406  df-mnd 17417  df-grp 17547  df-minusg 17548  df-mulg 17663  df-subg 17713  df-cmn 18316  df-mgp 18611  df-ur 18623  df-ring 18670  df-cring 18671  df-subrg 18901  df-psmet 19861  df-xmet 19862  df-met 19863  df-bl 19864  df-mopn 19865  df-cnfld 19870  df-top 20822  df-topon 20839  df-topsp 20860  df-bases 20873  df-xms 22247  df-ms 22248  df-nm 22509  df-ngp 22510  df-nlm 22513  df-nvc 22514  df-clm 22984  df-cvs 23045
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator