MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ncvsge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ncvsge0 23172
Description: The norm of a scalar product with a nonnegative real. (Contributed by NM, 1-Jan-2008.) (Revised by AV, 8-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ncvsprp.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ncvsprp.n 𝑁 = (norm‘𝑊)
ncvsprp.s · = ( ·𝑠𝑊)
ncvsprp.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
ncvsprp.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
ncvsge0 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ (𝐾 ∩ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵𝑉) → (𝑁‘(𝐴 · 𝐵)) = (𝐴 · (𝑁𝐵)))

Proof of Theorem ncvsge0
StepHypRef Expression
1 elinel1 3950 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝐾 ∩ ℝ) → 𝐴𝐾)
21adantr 466 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝐾 ∩ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴𝐾)
3 ncvsprp.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
4 ncvsprp.n . . . 4 𝑁 = (norm‘𝑊)
5 ncvsprp.s . . . 4 · = ( ·𝑠𝑊)
6 ncvsprp.f . . . 4 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
7 ncvsprp.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝐹)
83, 4, 5, 6, 7ncvsprp 23171 . . 3 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴𝐾𝐵𝑉) → (𝑁‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (𝑁𝐵)))
92, 8syl3an2 1167 . 2 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ (𝐾 ∩ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵𝑉) → (𝑁‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (𝑁𝐵)))
10 elinel2 3951 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝐾 ∩ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
11 absid 14244 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
1210, 11sylan 569 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝐾 ∩ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
13123ad2ant2 1128 . . 3 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ (𝐾 ∩ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵𝑉) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
1413oveq1d 6811 . 2 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ (𝐾 ∩ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵𝑉) → ((abs‘𝐴) · (𝑁𝐵)) = (𝐴 · (𝑁𝐵)))
159, 14eqtrd 2805 1 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ (𝐾 ∩ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵𝑉) → (𝑁‘(𝐴 · 𝐵)) = (𝐴 · (𝑁𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  cin 3722   class class class wbr 4787  cfv 6030  (class class class)co 6796  cr 10141  0cc0 10142   · cmul 10147  cle 10281  abscabs 14182  Basecbs 16064  Scalarcsca 16152   ·𝑠 cvsca 16153  normcnm 22601  NrmVeccnvc 22606  ℂVecccvs 23142
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220  ax-addf 10221  ax-mulf 10222
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8508  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-z 11585  df-dec 11701  df-uz 11894  df-rp 12036  df-fz 12534  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-grp 17633  df-subg 17799  df-cmn 18402  df-mgp 18698  df-ring 18757  df-cring 18758  df-subrg 18988  df-cnfld 19962  df-nm 22607  df-nlm 22611  df-nvc 22612  df-clm 23082  df-cvs 23143
This theorem is referenced by:  ncvs1  23176
  Copyright terms: Public domain W3C validator