MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ncoprmgcdne1b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ncoprmgcdne1b 15410
Description: Two positive integers are not coprime, i.e. there is an integer greater than 1 which divides both integers, iff their greatest common divisor is not 1. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
ncoprmgcdne1b ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑖 ∈ (ℤ‘2)(𝑖𝐴𝑖𝐵) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐵,𝑖

Proof of Theorem ncoprmgcdne1b
StepHypRef Expression
1 eluz2nn 11764 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (ℤ‘2) → 𝑖 ∈ ℕ)
21adantr 480 . . . . . 6 ((𝑖 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → 𝑖 ∈ ℕ)
3 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝑖 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → (𝑖𝐴𝑖𝐵))
4 eluz2b3 11800 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ≠ 1))
5 df-ne 2824 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ≠ 1 ↔ ¬ 𝑖 = 1)
65biimpi 206 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ≠ 1 → ¬ 𝑖 = 1)
76adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ≠ 1) → ¬ 𝑖 = 1)
84, 7sylbi 207 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (ℤ‘2) → ¬ 𝑖 = 1)
98adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑖 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → ¬ 𝑖 = 1)
103, 9jca 553 . . . . . 6 ((𝑖 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → ((𝑖𝐴𝑖𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1))
112, 10jca 553 . . . . 5 ((𝑖 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → (𝑖 ∈ ℕ ∧ ((𝑖𝐴𝑖𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1)))
125biimpri 218 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑖 = 1 → 𝑖 ≠ 1)
1312anim1i 591 . . . . . . . . . . . . 13 ((¬ 𝑖 = 1 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝑖 ≠ 1 ∧ 𝑖 ∈ ℕ))
1413ancomd 466 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝑖 = 1 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ≠ 1))
1514, 4sylibr 224 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝑖 = 1 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ (ℤ‘2))
1615ex 449 . . . . . . . . . 10 𝑖 = 1 → (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ (ℤ‘2)))
1716adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝑖𝐴𝑖𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ (ℤ‘2)))
1817impcom 445 . . . . . . . 8 ((𝑖 ∈ ℕ ∧ ((𝑖𝐴𝑖𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1)) → 𝑖 ∈ (ℤ‘2))
1918adantl 481 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ((𝑖𝐴𝑖𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1))) → 𝑖 ∈ (ℤ‘2))
20 simprrl 821 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ((𝑖𝐴𝑖𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1))) → (𝑖𝐴𝑖𝐵))
2119, 20jca 553 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ((𝑖𝐴𝑖𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1))) → (𝑖 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)))
2221ex 449 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑖 ∈ ℕ ∧ ((𝑖𝐴𝑖𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1)) → (𝑖 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵))))
2311, 22impbid2 216 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑖 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) ↔ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ((𝑖𝐴𝑖𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1))))
2423exbidv 1890 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑖(𝑖 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) ↔ ∃𝑖(𝑖 ∈ ℕ ∧ ((𝑖𝐴𝑖𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1))))
25 df-rex 2947 . . 3 (∃𝑖 ∈ (ℤ‘2)(𝑖𝐴𝑖𝐵) ↔ ∃𝑖(𝑖 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)))
26 df-rex 2947 . . 3 (∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑖𝐴𝑖𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ↔ ∃𝑖(𝑖 ∈ ℕ ∧ ((𝑖𝐴𝑖𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1)))
2724, 25, 263bitr4g 303 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑖 ∈ (ℤ‘2)(𝑖𝐴𝑖𝐵) ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑖𝐴𝑖𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1)))
28 rexanali 3027 . . 3 (∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑖𝐴𝑖𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ↔ ¬ ∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖𝐴𝑖𝐵) → 𝑖 = 1))
2928a1i 11 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑖𝐴𝑖𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ↔ ¬ ∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖𝐴𝑖𝐵) → 𝑖 = 1)))
30 coprmgcdb 15409 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖𝐴𝑖𝐵) → 𝑖 = 1) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = 1))
3130necon3bbid 2860 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (¬ ∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖𝐴𝑖𝐵) → 𝑖 = 1) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))
3227, 29, 313bitrd 294 1 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑖 ∈ (ℤ‘2)(𝑖𝐴𝑖𝐵) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wex 1744  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  1c1 9975  cn 11058  2c2 11108  cuz 11725  cdvds 15027   gcd cgcd 15263
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-dvds 15028  df-gcd 15264
This theorem is referenced by:  ncoprmgcdgt1b  15411
  Copyright terms: Public domain W3C validator