MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nconnsubb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nconnsubb 21207
Description: Disconnectedness for a subspace. (Contributed by FL, 29-May-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nconnsubb.2 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
nconnsubb.3 (𝜑𝐴𝑋)
nconnsubb.4 (𝜑𝑈𝐽)
nconnsubb.5 (𝜑𝑉𝐽)
nconnsubb.6 (𝜑 → (𝑈𝐴) ≠ ∅)
nconnsubb.7 (𝜑 → (𝑉𝐴) ≠ ∅)
nconnsubb.8 (𝜑 → ((𝑈𝑉) ∩ 𝐴) = ∅)
nconnsubb.9 (𝜑𝐴 ⊆ (𝑈𝑉))
Assertion
Ref Expression
nconnsubb (𝜑 → ¬ (𝐽t 𝐴) ∈ Conn)

Proof of Theorem nconnsubb
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nconnsubb.9 . 2 (𝜑𝐴 ⊆ (𝑈𝑉))
2 nconnsubb.2 . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3 nconnsubb.3 . . . 4 (𝜑𝐴𝑋)
4 connsuba 21204 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → ((𝐽t 𝐴) ∈ Conn ↔ ∀𝑥𝐽𝑦𝐽 (((𝑥𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑦𝐴) ≠ ∅ ∧ ((𝑥𝑦) ∩ 𝐴) = ∅) → ((𝑥𝑦) ∩ 𝐴) ≠ 𝐴)))
52, 3, 4syl2anc 692 . . 3 (𝜑 → ((𝐽t 𝐴) ∈ Conn ↔ ∀𝑥𝐽𝑦𝐽 (((𝑥𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑦𝐴) ≠ ∅ ∧ ((𝑥𝑦) ∩ 𝐴) = ∅) → ((𝑥𝑦) ∩ 𝐴) ≠ 𝐴)))
6 nconnsubb.6 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈𝐴) ≠ ∅)
7 nconnsubb.7 . . . . 5 (𝜑 → (𝑉𝐴) ≠ ∅)
8 nconnsubb.8 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑈𝑉) ∩ 𝐴) = ∅)
96, 7, 83jca 1240 . . . 4 (𝜑 → ((𝑈𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑉𝐴) ≠ ∅ ∧ ((𝑈𝑉) ∩ 𝐴) = ∅))
10 nconnsubb.4 . . . . 5 (𝜑𝑈𝐽)
11 nconnsubb.5 . . . . 5 (𝜑𝑉𝐽)
12 ineq1 3799 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑈 → (𝑥𝐴) = (𝑈𝐴))
1312neeq1d 2850 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑈 → ((𝑥𝐴) ≠ ∅ ↔ (𝑈𝐴) ≠ ∅))
14 ineq1 3799 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑈 → (𝑥𝑦) = (𝑈𝑦))
1514ineq1d 3805 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑈 → ((𝑥𝑦) ∩ 𝐴) = ((𝑈𝑦) ∩ 𝐴))
1615eqeq1d 2622 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑈 → (((𝑥𝑦) ∩ 𝐴) = ∅ ↔ ((𝑈𝑦) ∩ 𝐴) = ∅))
1713, 163anbi13d 1399 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑈 → (((𝑥𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑦𝐴) ≠ ∅ ∧ ((𝑥𝑦) ∩ 𝐴) = ∅) ↔ ((𝑈𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑦𝐴) ≠ ∅ ∧ ((𝑈𝑦) ∩ 𝐴) = ∅)))
18 uneq1 3752 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑈 → (𝑥𝑦) = (𝑈𝑦))
1918ineq1d 3805 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑈 → ((𝑥𝑦) ∩ 𝐴) = ((𝑈𝑦) ∩ 𝐴))
2019neeq1d 2850 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑈 → (((𝑥𝑦) ∩ 𝐴) ≠ 𝐴 ↔ ((𝑈𝑦) ∩ 𝐴) ≠ 𝐴))
2117, 20imbi12d 334 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑈 → ((((𝑥𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑦𝐴) ≠ ∅ ∧ ((𝑥𝑦) ∩ 𝐴) = ∅) → ((𝑥𝑦) ∩ 𝐴) ≠ 𝐴) ↔ (((𝑈𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑦𝐴) ≠ ∅ ∧ ((𝑈𝑦) ∩ 𝐴) = ∅) → ((𝑈𝑦) ∩ 𝐴) ≠ 𝐴)))
22 ineq1 3799 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑉 → (𝑦𝐴) = (𝑉𝐴))
2322neeq1d 2850 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑉 → ((𝑦𝐴) ≠ ∅ ↔ (𝑉𝐴) ≠ ∅))
24 ineq2 3800 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑉 → (𝑈𝑦) = (𝑈𝑉))
2524ineq1d 3805 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑉 → ((𝑈𝑦) ∩ 𝐴) = ((𝑈𝑉) ∩ 𝐴))
2625eqeq1d 2622 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑉 → (((𝑈𝑦) ∩ 𝐴) = ∅ ↔ ((𝑈𝑉) ∩ 𝐴) = ∅))
2723, 263anbi23d 1400 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑉 → (((𝑈𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑦𝐴) ≠ ∅ ∧ ((𝑈𝑦) ∩ 𝐴) = ∅) ↔ ((𝑈𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑉𝐴) ≠ ∅ ∧ ((𝑈𝑉) ∩ 𝐴) = ∅)))
28 sseqin2 3809 . . . . . . . . 9 (𝐴 ⊆ (𝑈𝑦) ↔ ((𝑈𝑦) ∩ 𝐴) = 𝐴)
2928necon3bbii 2838 . . . . . . . 8 𝐴 ⊆ (𝑈𝑦) ↔ ((𝑈𝑦) ∩ 𝐴) ≠ 𝐴)
30 uneq2 3753 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑉 → (𝑈𝑦) = (𝑈𝑉))
3130sseq2d 3625 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑉 → (𝐴 ⊆ (𝑈𝑦) ↔ 𝐴 ⊆ (𝑈𝑉)))
3231notbid 308 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑉 → (¬ 𝐴 ⊆ (𝑈𝑦) ↔ ¬ 𝐴 ⊆ (𝑈𝑉)))
3329, 32syl5bbr 274 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑉 → (((𝑈𝑦) ∩ 𝐴) ≠ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ⊆ (𝑈𝑉)))
3427, 33imbi12d 334 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑉 → ((((𝑈𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑦𝐴) ≠ ∅ ∧ ((𝑈𝑦) ∩ 𝐴) = ∅) → ((𝑈𝑦) ∩ 𝐴) ≠ 𝐴) ↔ (((𝑈𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑉𝐴) ≠ ∅ ∧ ((𝑈𝑉) ∩ 𝐴) = ∅) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑈𝑉))))
3521, 34rspc2v 3317 . . . . 5 ((𝑈𝐽𝑉𝐽) → (∀𝑥𝐽𝑦𝐽 (((𝑥𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑦𝐴) ≠ ∅ ∧ ((𝑥𝑦) ∩ 𝐴) = ∅) → ((𝑥𝑦) ∩ 𝐴) ≠ 𝐴) → (((𝑈𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑉𝐴) ≠ ∅ ∧ ((𝑈𝑉) ∩ 𝐴) = ∅) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑈𝑉))))
3610, 11, 35syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑥𝐽𝑦𝐽 (((𝑥𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑦𝐴) ≠ ∅ ∧ ((𝑥𝑦) ∩ 𝐴) = ∅) → ((𝑥𝑦) ∩ 𝐴) ≠ 𝐴) → (((𝑈𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑉𝐴) ≠ ∅ ∧ ((𝑈𝑉) ∩ 𝐴) = ∅) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑈𝑉))))
379, 36mpid 44 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥𝐽𝑦𝐽 (((𝑥𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑦𝐴) ≠ ∅ ∧ ((𝑥𝑦) ∩ 𝐴) = ∅) → ((𝑥𝑦) ∩ 𝐴) ≠ 𝐴) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑈𝑉)))
385, 37sylbid 230 . 2 (𝜑 → ((𝐽t 𝐴) ∈ Conn → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑈𝑉)))
391, 38mt2d 131 1 (𝜑 → ¬ (𝐽t 𝐴) ∈ Conn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  w3a 1036   = wceq 1481  wcel 1988  wne 2791  wral 2909  cun 3565  cin 3566  wss 3567  c0 3907  cfv 5876  (class class class)co 6635  t crest 16062  TopOnctopon 20696  Conncconn 21195
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-oadd 7549  df-er 7727  df-en 7941  df-fin 7944  df-fi 8302  df-rest 16064  df-topgen 16085  df-top 20680  df-topon 20697  df-bases 20731  df-cld 20804  df-conn 21196
This theorem is referenced by:  iunconnlem  21211  clsconn  21214  reconnlem1  22610  ordtconnlem1  29944
  Copyright terms: Public domain W3C validator