Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ncoltgdim2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ncoltgdim2 25505
 Description: If there are 3 non-colinear points, dimension must be 2 or more. tglowdim2l 25590 converse. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
tglngval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglngval.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglngval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglngval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
tglngval.x (𝜑𝑋𝑃)
tglngval.y (𝜑𝑌𝑃)
tgcolg.z (𝜑𝑍𝑃)
ncoltgdim2.1 (𝜑 → ¬ (𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ∨ 𝑋 = 𝑌))
Assertion
Ref Expression
ncoltgdim2 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)

Proof of Theorem ncoltgdim2
StepHypRef Expression
1 ncoltgdim2.1 . . 3 (𝜑 → ¬ (𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ∨ 𝑋 = 𝑌))
2 tglngval.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
3 tglngval.l . . . 4 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4 tglngval.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5 tglngval.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
65adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐺DimTarskiG≥2) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7 tglngval.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝑃)
87adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐺DimTarskiG≥2) → 𝑋𝑃)
9 tglngval.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝑃)
109adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐺DimTarskiG≥2) → 𝑌𝑃)
11 tgcolg.z . . . . 5 (𝜑𝑍𝑃)
1211adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐺DimTarskiG≥2) → 𝑍𝑃)
13 simpr 476 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐺DimTarskiG≥2) → ¬ 𝐺DimTarskiG≥2)
142, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 13tgdim01ln 25504 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐺DimTarskiG≥2) → (𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ∨ 𝑋 = 𝑌))
151, 14mtand 692 . 2 (𝜑 → ¬ ¬ 𝐺DimTarskiG≥2)
1615notnotrd 128 1 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   class class class wbr 4685  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  2c2 11108  Basecbs 15904  TarskiGcstrkg 25374  DimTarskiG≥cstrkgld 25378  Itvcitv 25380  LineGclng 25381 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-trkgc 25392  df-trkgcb 25394  df-trkgld 25396  df-trkg 25397 This theorem is referenced by:  opptgdim2  25682  trgcopy  25741  trgcopyeulem  25742  cgrg3col4  25779
 Copyright terms: Public domain W3C validator