Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nbusgredgeu0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nbusgredgeu0 26489
 Description: For each neighbor of a vertex there is exactly one edge between the vertex and its neighbor in a simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Dec-2017.) (Revised by AV, 27-Oct-2020.) (Proof shortened by AV, 13-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
nbusgrf1o1.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
nbusgrf1o1.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
nbusgrf1o1.n 𝑁 = (𝐺 NeighbVtx 𝑈)
nbusgrf1o1.i 𝐼 = {𝑒𝐸𝑈𝑒}
Assertion
Ref Expression
nbusgredgeu0 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ 𝑀𝑁) → ∃!𝑖𝐼 𝑖 = {𝑈, 𝑀})
Distinct variable groups:   𝑖,𝐸,𝑒   𝑖,𝐺   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑈,𝑖,𝑒   𝑖,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑒)   𝐼(𝑒,𝑖)   𝑀(𝑒)   𝑁(𝑒)   𝑉(𝑒)

Proof of Theorem nbusgredgeu0
StepHypRef Expression
1 simpll 807 . . . . 5 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ 𝑀𝑁) → 𝐺 ∈ USGraph)
2 nbusgrf1o1.n . . . . . . . 8 𝑁 = (𝐺 NeighbVtx 𝑈)
32eleq2i 2831 . . . . . . 7 (𝑀𝑁𝑀 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈))
4 nbgrsym 26483 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ↔ 𝑈 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑀))
54a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) → (𝑀 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ↔ 𝑈 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑀)))
65biimpd 219 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) → (𝑀 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) → 𝑈 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑀)))
73, 6syl5bi 232 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) → (𝑀𝑁𝑈 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑀)))
87imp 444 . . . . 5 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ 𝑀𝑁) → 𝑈 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑀))
9 nbusgrf1o1.e . . . . . 6 𝐸 = (Edg‘𝐺)
109nbusgredgeu 26487 . . . . 5 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑀)) → ∃!𝑖𝐸 𝑖 = {𝑈, 𝑀})
111, 8, 10syl2anc 696 . . . 4 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ 𝑀𝑁) → ∃!𝑖𝐸 𝑖 = {𝑈, 𝑀})
12 df-reu 3057 . . . 4 (∃!𝑖𝐸 𝑖 = {𝑈, 𝑀} ↔ ∃!𝑖(𝑖𝐸𝑖 = {𝑈, 𝑀}))
1311, 12sylib 208 . . 3 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ 𝑀𝑁) → ∃!𝑖(𝑖𝐸𝑖 = {𝑈, 𝑀}))
14 anass 684 . . . . 5 (((𝑖𝐸𝑈𝑖) ∧ 𝑖 = {𝑈, 𝑀}) ↔ (𝑖𝐸 ∧ (𝑈𝑖𝑖 = {𝑈, 𝑀})))
15 prid1g 4439 . . . . . . . . . 10 (𝑈𝑉𝑈 ∈ {𝑈, 𝑀})
1615ad2antlr 765 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ 𝑀𝑁) → 𝑈 ∈ {𝑈, 𝑀})
17 eleq2 2828 . . . . . . . . 9 (𝑖 = {𝑈, 𝑀} → (𝑈𝑖𝑈 ∈ {𝑈, 𝑀}))
1816, 17syl5ibrcom 237 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ 𝑀𝑁) → (𝑖 = {𝑈, 𝑀} → 𝑈𝑖))
1918pm4.71rd 670 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ 𝑀𝑁) → (𝑖 = {𝑈, 𝑀} ↔ (𝑈𝑖𝑖 = {𝑈, 𝑀})))
2019bicomd 213 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ 𝑀𝑁) → ((𝑈𝑖𝑖 = {𝑈, 𝑀}) ↔ 𝑖 = {𝑈, 𝑀}))
2120anbi2d 742 . . . . 5 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ 𝑀𝑁) → ((𝑖𝐸 ∧ (𝑈𝑖𝑖 = {𝑈, 𝑀})) ↔ (𝑖𝐸𝑖 = {𝑈, 𝑀})))
2214, 21syl5bb 272 . . . 4 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ 𝑀𝑁) → (((𝑖𝐸𝑈𝑖) ∧ 𝑖 = {𝑈, 𝑀}) ↔ (𝑖𝐸𝑖 = {𝑈, 𝑀})))
2322eubidv 2627 . . 3 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ 𝑀𝑁) → (∃!𝑖((𝑖𝐸𝑈𝑖) ∧ 𝑖 = {𝑈, 𝑀}) ↔ ∃!𝑖(𝑖𝐸𝑖 = {𝑈, 𝑀})))
2413, 23mpbird 247 . 2 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ 𝑀𝑁) → ∃!𝑖((𝑖𝐸𝑈𝑖) ∧ 𝑖 = {𝑈, 𝑀}))
25 df-reu 3057 . . 3 (∃!𝑖𝐼 𝑖 = {𝑈, 𝑀} ↔ ∃!𝑖(𝑖𝐼𝑖 = {𝑈, 𝑀}))
26 eleq2 2828 . . . . . 6 (𝑒 = 𝑖 → (𝑈𝑒𝑈𝑖))
27 nbusgrf1o1.i . . . . . 6 𝐼 = {𝑒𝐸𝑈𝑒}
2826, 27elrab2 3507 . . . . 5 (𝑖𝐼 ↔ (𝑖𝐸𝑈𝑖))
2928anbi1i 733 . . . 4 ((𝑖𝐼𝑖 = {𝑈, 𝑀}) ↔ ((𝑖𝐸𝑈𝑖) ∧ 𝑖 = {𝑈, 𝑀}))
3029eubii 2629 . . 3 (∃!𝑖(𝑖𝐼𝑖 = {𝑈, 𝑀}) ↔ ∃!𝑖((𝑖𝐸𝑈𝑖) ∧ 𝑖 = {𝑈, 𝑀}))
3125, 30bitri 264 . 2 (∃!𝑖𝐼 𝑖 = {𝑈, 𝑀} ↔ ∃!𝑖((𝑖𝐸𝑈𝑖) ∧ 𝑖 = {𝑈, 𝑀}))
3224, 31sylibr 224 1 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ 𝑀𝑁) → ∃!𝑖𝐼 𝑖 = {𝑈, 𝑀})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ∃!weu 2607  ∃!wreu 3052  {crab 3054  {cpr 4323  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  Vtxcvtx 26094  Edgcedg 26159  USGraphcusgr 26264   NeighbVtx cnbgr 26444 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-oadd 7734  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-card 8975  df-cda 9202  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-n0 11505  df-xnn0 11576  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-hash 13332  df-edg 26160  df-upgr 26197  df-umgr 26198  df-usgr 26266  df-nbgr 26445 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator