MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nbupgrel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nbupgrel 26436
Description: A neighbor of a vertex in a pseudograph. (Contributed by AV, 5-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
nbuhgr.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
nbuhgr.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
nbupgrel (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐾𝑉) ∧ (𝑁𝑉𝑁𝐾)) → (𝑁 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝐾) ↔ {𝑁, 𝐾} ∈ 𝐸))

Proof of Theorem nbupgrel
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nbuhgr.v . . . . . 6 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 nbuhgr.e . . . . . 6 𝐸 = (Edg‘𝐺)
31, 2nbupgr 26435 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐾𝑉) → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = {𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝐾}) ∣ {𝐾, 𝑛} ∈ 𝐸})
43eleq2d 2821 . . . 4 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐾𝑉) → (𝑁 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝐾) ↔ 𝑁 ∈ {𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝐾}) ∣ {𝐾, 𝑛} ∈ 𝐸}))
5 preq2 4409 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → {𝐾, 𝑛} = {𝐾, 𝑁})
65eleq1d 2820 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → ({𝐾, 𝑛} ∈ 𝐸 ↔ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸))
76elrab 3500 . . . 4 (𝑁 ∈ {𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝐾}) ∣ {𝐾, 𝑛} ∈ 𝐸} ↔ (𝑁 ∈ (𝑉 ∖ {𝐾}) ∧ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸))
84, 7syl6bb 276 . . 3 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐾𝑉) → (𝑁 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝐾) ↔ (𝑁 ∈ (𝑉 ∖ {𝐾}) ∧ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸)))
98adantr 472 . 2 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐾𝑉) ∧ (𝑁𝑉𝑁𝐾)) → (𝑁 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝐾) ↔ (𝑁 ∈ (𝑉 ∖ {𝐾}) ∧ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸)))
10 eldifsn 4458 . . . . 5 (𝑁 ∈ (𝑉 ∖ {𝐾}) ↔ (𝑁𝑉𝑁𝐾))
1110biimpri 218 . . . 4 ((𝑁𝑉𝑁𝐾) → 𝑁 ∈ (𝑉 ∖ {𝐾}))
1211adantl 473 . . 3 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐾𝑉) ∧ (𝑁𝑉𝑁𝐾)) → 𝑁 ∈ (𝑉 ∖ {𝐾}))
1312biantrurd 530 . 2 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐾𝑉) ∧ (𝑁𝑉𝑁𝐾)) → ({𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸 ↔ (𝑁 ∈ (𝑉 ∖ {𝐾}) ∧ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸)))
14 prcom 4407 . . . 4 {𝐾, 𝑁} = {𝑁, 𝐾}
1514eleq1i 2826 . . 3 ({𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸 ↔ {𝑁, 𝐾} ∈ 𝐸)
1615a1i 11 . 2 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐾𝑉) ∧ (𝑁𝑉𝑁𝐾)) → ({𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸 ↔ {𝑁, 𝐾} ∈ 𝐸))
179, 13, 163bitr2d 296 1 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐾𝑉) ∧ (𝑁𝑉𝑁𝐾)) → (𝑁 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝐾) ↔ {𝑁, 𝐾} ∈ 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1628  wcel 2135  wne 2928  {crab 3050  cdif 3708  {csn 4317  {cpr 4319  cfv 6045  (class class class)co 6809  Vtxcvtx 26069  Edgcedg 26134  UPGraphcupgr 26170   NeighbVtx cnbgr 26419
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-rep 4919  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-cnex 10180  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-mulcom 10188  ax-addass 10189  ax-mulass 10190  ax-distr 10191  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-1rid 10194  ax-rnegex 10195  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197  ax-pre-lttri 10198  ax-pre-lttrn 10199  ax-pre-ltadd 10200  ax-pre-mulgt0 10201
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-nel 3032  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rmo 3054  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-pss 3727  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4585  df-int 4624  df-iun 4670  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-tr 4901  df-id 5170  df-eprel 5175  df-po 5183  df-so 5184  df-fr 5221  df-we 5223  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-pred 5837  df-ord 5883  df-on 5884  df-lim 5885  df-suc 5886  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-riota 6770  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-om 7227  df-1st 7329  df-2nd 7330  df-wrecs 7572  df-recs 7633  df-rdg 7671  df-1o 7725  df-2o 7726  df-oadd 7729  df-er 7907  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120  df-fin 8121  df-card 8951  df-cda 9178  df-pnf 10264  df-mnf 10265  df-xr 10266  df-ltxr 10267  df-le 10268  df-sub 10456  df-neg 10457  df-nn 11209  df-2 11267  df-n0 11481  df-xnn0 11552  df-z 11566  df-uz 11876  df-fz 12516  df-hash 13308  df-edg 26135  df-upgr 26172  df-nbgr 26420
This theorem is referenced by:  nbupgrres  26460  cplgr3v  26537
  Copyright terms: Public domain W3C validator