MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nbumgrvtx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nbumgrvtx 26287
Description: The set of neighbors of a vertex in a multigraph. (Contributed by AV, 27-Nov-2020.) (Proof shortened by AV, 30-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
nbuhgr.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
nbuhgr.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
nbumgrvtx ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = {𝑛𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸})
Distinct variable groups:   𝑛,𝐺   𝑛,𝑁   𝑛,𝑉   𝑛,𝐸

Proof of Theorem nbumgrvtx
Dummy variables 𝑒 𝑣 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nbuhgr.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 nbuhgr.e . . . 4 𝐸 = (Edg‘𝐺)
31, 2nbgrval 26274 . . 3 (𝑁𝑉 → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = {𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝑣} ⊆ 𝑒})
43adantl 481 . 2 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = {𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝑣} ⊆ 𝑒})
5 eldifi 3765 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → 𝑥𝑉)
65adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → 𝑥𝑉)
76adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ (𝑒𝐸 ∧ {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒)) → 𝑥𝑉)
8 umgrupgr 26043 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
98ad4antr 769 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ 𝑒𝐸) ∧ {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒) → 𝐺 ∈ UPGraph)
10 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ 𝑒𝐸) → 𝑒𝐸)
1110adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ 𝑒𝐸) ∧ {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒) → 𝑒𝐸)
12 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ 𝑒𝐸) ∧ {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒) → {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒)
13 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) → 𝑁𝑉)
1413adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → 𝑁𝑉)
15 vex 3234 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥 ∈ V
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → 𝑥 ∈ V)
17 eldifsn 4350 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ↔ (𝑥𝑉𝑥𝑁))
18 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥𝑉𝑥𝑁) → 𝑥𝑁)
1918necomd 2878 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝑉𝑥𝑁) → 𝑁𝑥)
2017, 19sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → 𝑁𝑥)
2120adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → 𝑁𝑥)
2214, 16, 213jca 1261 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (𝑁𝑉𝑥 ∈ V ∧ 𝑁𝑥))
2322adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ 𝑒𝐸) → (𝑁𝑉𝑥 ∈ V ∧ 𝑁𝑥))
2423adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ 𝑒𝐸) ∧ {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒) → (𝑁𝑉𝑥 ∈ V ∧ 𝑁𝑥))
251, 2upgredgpr 26082 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑒𝐸 ∧ {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒) ∧ (𝑁𝑉𝑥 ∈ V ∧ 𝑁𝑥)) → {𝑁, 𝑥} = 𝑒)
269, 11, 12, 24, 25syl31anc 1369 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ 𝑒𝐸) ∧ {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒) → {𝑁, 𝑥} = 𝑒)
2726ex 449 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ 𝑒𝐸) → ({𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒 → {𝑁, 𝑥} = 𝑒))
28 eleq1 2718 . . . . . . . . . . 11 ({𝑁, 𝑥} = 𝑒 → ({𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸𝑒𝐸))
2928biimprd 238 . . . . . . . . . 10 ({𝑁, 𝑥} = 𝑒 → (𝑒𝐸 → {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸))
3027, 10, 29syl6ci 71 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ 𝑒𝐸) → ({𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒 → {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸))
3130impr 648 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ (𝑒𝐸 ∧ {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒)) → {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)
327, 31jca 553 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ (𝑒𝐸 ∧ {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒)) → (𝑥𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸))
3332rexlimdvaa 3061 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒 → (𝑥𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)))
3433expimpd 628 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) → ((𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒) → (𝑥𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)))
35 simprl 809 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑥𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)) → 𝑥𝑉)
362umgredgne 26085 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸) → 𝑁𝑥)
3736ad2ant2rl 800 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑥𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)) → 𝑁𝑥)
3837necomd 2878 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑥𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)) → 𝑥𝑁)
3935, 38, 17sylanbrc 699 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑥𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)) → 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}))
40 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸) → {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)
4140adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑥𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)) → {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)
42 sseq2 3660 . . . . . . . . 9 (𝑒 = {𝑁, 𝑥} → ({𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒 ↔ {𝑁, 𝑥} ⊆ {𝑁, 𝑥}))
4342adantl 481 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑥𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)) ∧ 𝑒 = {𝑁, 𝑥}) → ({𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒 ↔ {𝑁, 𝑥} ⊆ {𝑁, 𝑥}))
44 ssid 3657 . . . . . . . . 9 {𝑁, 𝑥} ⊆ {𝑁, 𝑥}
4544a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑥𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)) → {𝑁, 𝑥} ⊆ {𝑁, 𝑥})
4641, 43, 45rspcedvd 3348 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑥𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)) → ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒)
4739, 46jca 553 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑥𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)) → (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒))
4847ex 449 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) → ((𝑥𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸) → (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒)))
4934, 48impbid 202 . . . 4 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) → ((𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒) ↔ (𝑥𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)))
50 preq2 4301 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑥 → {𝑁, 𝑣} = {𝑁, 𝑥})
5150sseq1d 3665 . . . . . 6 (𝑣 = 𝑥 → ({𝑁, 𝑣} ⊆ 𝑒 ↔ {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒))
5251rexbidv 3081 . . . . 5 (𝑣 = 𝑥 → (∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝑣} ⊆ 𝑒 ↔ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒))
5352elrab 3396 . . . 4 (𝑥 ∈ {𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝑣} ⊆ 𝑒} ↔ (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒))
54 preq2 4301 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑥 → {𝑁, 𝑛} = {𝑁, 𝑥})
5554eleq1d 2715 . . . . 5 (𝑛 = 𝑥 → ({𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸 ↔ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸))
5655elrab 3396 . . . 4 (𝑥 ∈ {𝑛𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸} ↔ (𝑥𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸))
5749, 53, 563bitr4g 303 . . 3 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) → (𝑥 ∈ {𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝑣} ⊆ 𝑒} ↔ 𝑥 ∈ {𝑛𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸}))
5857eqrdv 2649 . 2 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) → {𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝑣} ⊆ 𝑒} = {𝑛𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸})
594, 58eqtrd 2685 1 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = {𝑛𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wrex 2942  {crab 2945  Vcvv 3231  cdif 3604  wss 3607  {csn 4210  {cpr 4212  cfv 5926  (class class class)co 6690  Vtxcvtx 25919  Edgcedg 25984  UPGraphcupgr 26020  UMGraphcumgr 26021   NeighbVtx cnbgr 26269
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-hash 13158  df-edg 25985  df-upgr 26022  df-umgr 26023  df-nbgr 26270
This theorem is referenced by:  nbumgr  26288  nbusgrvtx  26289  umgr2v2enb1  26478
  Copyright terms: Public domain W3C validator