MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nbgr0vtxlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nbgr0vtxlem 26472
Description: Lemma for nbgr0vtx 26473 and nbgr0edg 26474. (Contributed by AV, 15-Nov-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
nbgr0vtxlem.v (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) ¬ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝐾, 𝑛} ⊆ 𝑒)
Assertion
Ref Expression
nbgr0vtxlem (𝜑 → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = ∅)
Distinct variable groups:   𝑒,𝐺,𝑛   𝑒,𝐾,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑒,𝑛)

Proof of Theorem nbgr0vtxlem
StepHypRef Expression
1 eqid 2761 . . . . . . . 8 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2 eqid 2761 . . . . . . . 8 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
31, 2nbgrval 26450 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = {𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) ∣ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝐾, 𝑛} ⊆ 𝑒})
43ad2antrl 766 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V) ∧ (𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝜑)) → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = {𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) ∣ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝐾, 𝑛} ⊆ 𝑒})
5 nbgr0vtxlem.v . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) ¬ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝐾, 𝑛} ⊆ 𝑒)
65ad2antll 767 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V) ∧ (𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝜑)) → ∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) ¬ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝐾, 𝑛} ⊆ 𝑒)
7 rabeq0 4101 . . . . . . 7 ({𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) ∣ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝐾, 𝑛} ⊆ 𝑒} = ∅ ↔ ∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) ¬ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝐾, 𝑛} ⊆ 𝑒)
86, 7sylibr 224 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V) ∧ (𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝜑)) → {𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) ∣ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝐾, 𝑛} ⊆ 𝑒} = ∅)
94, 8eqtrd 2795 . . . . 5 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V) ∧ (𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝜑)) → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = ∅)
109expcom 450 . . . 4 ((𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝜑) → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V) → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = ∅))
1110ex 449 . . 3 (𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) → (𝜑 → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V) → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = ∅)))
1211com23 86 . 2 (𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V) → (𝜑 → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = ∅)))
13 df-nel 3037 . . . 4 (𝐾 ∉ (Vtx‘𝐺) ↔ ¬ 𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺))
141nbgrnvtx0 26453 . . . 4 (𝐾 ∉ (Vtx‘𝐺) → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = ∅)
1513, 14sylbir 225 . . 3 𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = ∅)
1615a1d 25 . 2 𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) → (𝜑 → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = ∅))
17 nbgrprc0 26447 . . 3 (¬ (𝐺 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V) → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = ∅)
1817a1d 25 . 2 (¬ (𝐺 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V) → (𝜑 → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = ∅))
1912, 16, 18pm2.61nii 178 1 (𝜑 → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2140  wnel 3036  wral 3051  wrex 3052  {crab 3055  Vcvv 3341  cdif 3713  wss 3716  c0 4059  {csn 4322  {cpr 4324  cfv 6050  (class class class)co 6815  Vtxcvtx 26095  Edgcedg 26160   NeighbVtx cnbgr 26445
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-nul 4060  df-if 4232  df-sn 4323  df-pr 4325  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-id 5175  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fv 6058  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-nbgr 26446
This theorem is referenced by:  nbgr0vtx  26473  nbgr0edg  26474  nbgr1vtx  26475
  Copyright terms: Public domain W3C validator