Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mzprename Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mzprename 37629
Description: Simplified version of mzpsubst 37628 to simply relabel variables in a polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzprename ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝑅:𝑉𝑊) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥𝑅))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑊   𝑥,𝐹   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉

Proof of Theorem mzprename
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 476 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) → 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊))
2 zex 11424 . . . . . . . . 9 ℤ ∈ V
3 simpll 805 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) → 𝑊 ∈ V)
4 elmapg 7912 . . . . . . . . 9 ((ℤ ∈ V ∧ 𝑊 ∈ V) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↔ 𝑥:𝑊⟶ℤ))
52, 3, 4sylancr 696 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↔ 𝑥:𝑊⟶ℤ))
61, 5mpbid 222 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) → 𝑥:𝑊⟶ℤ)
7 simplr 807 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) → 𝑅:𝑉𝑊)
8 fcompt 6440 . . . . . . 7 ((𝑥:𝑊⟶ℤ ∧ 𝑅:𝑉𝑊) → (𝑥𝑅) = (𝑎𝑉 ↦ (𝑥‘(𝑅𝑎))))
96, 7, 8syl2anc 694 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) → (𝑥𝑅) = (𝑎𝑉 ↦ (𝑥‘(𝑅𝑎))))
10 fveq1 6228 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝑥 → (𝑏‘(𝑅𝑎)) = (𝑥‘(𝑅𝑎)))
11 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅𝑎))) = (𝑏 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅𝑎)))
12 fvex 6239 . . . . . . . . . 10 (𝑥‘(𝑅𝑎)) ∈ V
1310, 11, 12fvmpt 6321 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) → ((𝑏 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅𝑎)))‘𝑥) = (𝑥‘(𝑅𝑎)))
1413ad2antlr 763 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) ∧ 𝑎𝑉) → ((𝑏 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅𝑎)))‘𝑥) = (𝑥‘(𝑅𝑎)))
1514eqcomd 2657 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) ∧ 𝑎𝑉) → (𝑥‘(𝑅𝑎)) = ((𝑏 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅𝑎)))‘𝑥))
1615mpteq2dva 4777 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) → (𝑎𝑉 ↦ (𝑥‘(𝑅𝑎))) = (𝑎𝑉 ↦ ((𝑏 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅𝑎)))‘𝑥)))
179, 16eqtrd 2685 . . . . 5 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) → (𝑥𝑅) = (𝑎𝑉 ↦ ((𝑏 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅𝑎)))‘𝑥)))
1817fveq2d 6233 . . . 4 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) → (𝐹‘(𝑥𝑅)) = (𝐹‘(𝑎𝑉 ↦ ((𝑏 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅𝑎)))‘𝑥))))
1918mpteq2dva 4777 . . 3 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉𝑊) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥𝑅))) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑎𝑉 ↦ ((𝑏 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅𝑎)))‘𝑥)))))
20193adant2 1100 . 2 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝑅:𝑉𝑊) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥𝑅))) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑎𝑉 ↦ ((𝑏 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅𝑎)))‘𝑥)))))
21 simpl1 1084 . . . . 5 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝑅:𝑉𝑊) ∧ 𝑎𝑉) → 𝑊 ∈ V)
22 ffvelrn 6397 . . . . . 6 ((𝑅:𝑉𝑊𝑎𝑉) → (𝑅𝑎) ∈ 𝑊)
23223ad2antl3 1245 . . . . 5 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝑅:𝑉𝑊) ∧ 𝑎𝑉) → (𝑅𝑎) ∈ 𝑊)
24 mzpproj 37617 . . . . 5 ((𝑊 ∈ V ∧ (𝑅𝑎) ∈ 𝑊) → (𝑏 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅𝑎))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
2521, 23, 24syl2anc 694 . . . 4 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝑅:𝑉𝑊) ∧ 𝑎𝑉) → (𝑏 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅𝑎))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
2625ralrimiva 2995 . . 3 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝑅:𝑉𝑊) → ∀𝑎𝑉 (𝑏 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅𝑎))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
27 mzpsubst 37628 . . 3 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ ∀𝑎𝑉 (𝑏 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅𝑎))) ∈ (mzPoly‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑎𝑉 ↦ ((𝑏 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅𝑎)))‘𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
2826, 27syld3an3 1411 . 2 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝑅:𝑉𝑊) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑎𝑉 ↦ ((𝑏 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅𝑎)))‘𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
2920, 28eqeltrd 2730 1 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝑅:𝑉𝑊) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥𝑅))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  Vcvv 3231  cmpt 4762  ccom 5147  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  𝑚 cmap 7899  cz 11415  mzPolycmzp 37602
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-mzpcl 37603  df-mzp 37604
This theorem is referenced by:  mzpresrename  37630  eldioph2  37642  eldioph2b  37643  diophren  37694
  Copyright terms: Public domain W3C validator