Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mzpmfp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mzpmfp 37812
Description: Relationship between multivariate Z-polynomials and general multivariate polynomial functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Mar-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)
Assertion
Ref Expression
mzpmfp (mzPoly‘𝐼) = ran (𝐼 eval ℤring)

Proof of Theorem mzpmfp
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zringbas 20026 . . . . . 6 ℤ = (Base‘ℤring)
2 eqid 2760 . . . . . . . 8 (𝐼 eval ℤring) = (𝐼 eval ℤring)
32, 1evlval 19726 . . . . . . 7 (𝐼 eval ℤring) = ((𝐼 evalSub ℤring)‘ℤ)
43rneqi 5507 . . . . . 6 ran (𝐼 eval ℤring) = ran ((𝐼 evalSub ℤring)‘ℤ)
5 simpl 474 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → 𝐼 ∈ V)
6 zringcrng 20022 . . . . . . 7 ring ∈ CRing
76a1i 11 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → ℤring ∈ CRing)
8 zringring 20023 . . . . . . . 8 ring ∈ Ring
91subrgid 18984 . . . . . . . 8 (ℤring ∈ Ring → ℤ ∈ (SubRing‘ℤring))
108, 9ax-mp 5 . . . . . . 7 ℤ ∈ (SubRing‘ℤring)
1110a1i 11 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → ℤ ∈ (SubRing‘ℤring))
12 simpr 479 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → 𝑓 ∈ ℤ)
131, 4, 5, 7, 11, 12mpfconst 19732 . . . . 5 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → ((ℤ ↑𝑚 𝐼) × {𝑓}) ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
14 simpl 474 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓𝐼) → 𝐼 ∈ V)
156a1i 11 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓𝐼) → ℤring ∈ CRing)
1610a1i 11 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓𝐼) → ℤ ∈ (SubRing‘ℤring))
17 simpr 479 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓𝐼) → 𝑓𝐼)
181, 4, 14, 15, 16, 17mpfproj 19733 . . . . 5 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓𝐼) → (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝐼) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
19 simp2r 1243 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ (𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝐼)⟶ℤ ∧ 𝑓 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ (𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝐼)⟶ℤ ∧ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval ℤring))) → 𝑓 ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
20 simp3r 1245 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ (𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝐼)⟶ℤ ∧ 𝑓 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ (𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝐼)⟶ℤ ∧ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval ℤring))) → 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
21 zringplusg 20027 . . . . . . 7 + = (+g‘ℤring)
224, 21mpfaddcl 19736 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) → (𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
2319, 20, 22syl2anc 696 . . . . 5 ((𝐼 ∈ V ∧ (𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝐼)⟶ℤ ∧ 𝑓 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ (𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝐼)⟶ℤ ∧ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval ℤring))) → (𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
24 zringmulr 20029 . . . . . . 7 · = (.r‘ℤring)
254, 24mpfmulcl 19737 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) → (𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
2619, 20, 25syl2anc 696 . . . . 5 ((𝐼 ∈ V ∧ (𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝐼)⟶ℤ ∧ 𝑓 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ (𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝐼)⟶ℤ ∧ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval ℤring))) → (𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
27 eleq1 2827 . . . . 5 (𝑏 = ((ℤ ↑𝑚 𝐼) × {𝑓}) → (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ↔ ((ℤ ↑𝑚 𝐼) × {𝑓}) ∈ ran (𝐼 eval ℤring)))
28 eleq1 2827 . . . . 5 (𝑏 = (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝐼) ↦ (𝑔𝑓)) → (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ↔ (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝐼) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ ran (𝐼 eval ℤring)))
29 eleq1 2827 . . . . 5 (𝑏 = 𝑓 → (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ↔ 𝑓 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)))
30 eleq1 2827 . . . . 5 (𝑏 = 𝑔 → (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ↔ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)))
31 eleq1 2827 . . . . 5 (𝑏 = (𝑓𝑓 + 𝑔) → (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ↔ (𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ ran (𝐼 eval ℤring)))
32 eleq1 2827 . . . . 5 (𝑏 = (𝑓𝑓 · 𝑔) → (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ↔ (𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ ran (𝐼 eval ℤring)))
33 eleq1 2827 . . . . 5 (𝑏 = 𝑎 → (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ↔ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)))
3413, 18, 23, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33mzpindd 37811 . . . 4 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ (mzPoly‘𝐼)) → 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
35 simprlr 822 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ ((𝑥 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑥 ∈ (mzPoly‘𝐼)) ∧ (𝑦 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑦 ∈ (mzPoly‘𝐼)))) → 𝑥 ∈ (mzPoly‘𝐼))
36 simprrr 824 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ ((𝑥 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑥 ∈ (mzPoly‘𝐼)) ∧ (𝑦 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑦 ∈ (mzPoly‘𝐼)))) → 𝑦 ∈ (mzPoly‘𝐼))
37 mzpadd 37803 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (mzPoly‘𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (mzPoly‘𝐼)) → (𝑥𝑓 + 𝑦) ∈ (mzPoly‘𝐼))
3835, 36, 37syl2anc 696 . . . . 5 (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ ((𝑥 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑥 ∈ (mzPoly‘𝐼)) ∧ (𝑦 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑦 ∈ (mzPoly‘𝐼)))) → (𝑥𝑓 + 𝑦) ∈ (mzPoly‘𝐼))
39 mzpmul 37804 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (mzPoly‘𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (mzPoly‘𝐼)) → (𝑥𝑓 · 𝑦) ∈ (mzPoly‘𝐼))
4035, 36, 39syl2anc 696 . . . . 5 (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ ((𝑥 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑥 ∈ (mzPoly‘𝐼)) ∧ (𝑦 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑦 ∈ (mzPoly‘𝐼)))) → (𝑥𝑓 · 𝑦) ∈ (mzPoly‘𝐼))
41 eleq1 2827 . . . . 5 (𝑏 = ((ℤ ↑𝑚 𝐼) × {𝑥}) → (𝑏 ∈ (mzPoly‘𝐼) ↔ ((ℤ ↑𝑚 𝐼) × {𝑥}) ∈ (mzPoly‘𝐼)))
42 eleq1 2827 . . . . 5 (𝑏 = (𝑦 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝐼) ↦ (𝑦𝑥)) → (𝑏 ∈ (mzPoly‘𝐼) ↔ (𝑦 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝐼) ↦ (𝑦𝑥)) ∈ (mzPoly‘𝐼)))
43 eleq1 2827 . . . . 5 (𝑏 = 𝑥 → (𝑏 ∈ (mzPoly‘𝐼) ↔ 𝑥 ∈ (mzPoly‘𝐼)))
44 eleq1 2827 . . . . 5 (𝑏 = 𝑦 → (𝑏 ∈ (mzPoly‘𝐼) ↔ 𝑦 ∈ (mzPoly‘𝐼)))
45 eleq1 2827 . . . . 5 (𝑏 = (𝑥𝑓 + 𝑦) → (𝑏 ∈ (mzPoly‘𝐼) ↔ (𝑥𝑓 + 𝑦) ∈ (mzPoly‘𝐼)))
46 eleq1 2827 . . . . 5 (𝑏 = (𝑥𝑓 · 𝑦) → (𝑏 ∈ (mzPoly‘𝐼) ↔ (𝑥𝑓 · 𝑦) ∈ (mzPoly‘𝐼)))
47 eleq1 2827 . . . . 5 (𝑏 = 𝑎 → (𝑏 ∈ (mzPoly‘𝐼) ↔ 𝑎 ∈ (mzPoly‘𝐼)))
48 mzpconst 37800 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((ℤ ↑𝑚 𝐼) × {𝑥}) ∈ (mzPoly‘𝐼))
4948adantlr 753 . . . . 5 (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((ℤ ↑𝑚 𝐼) × {𝑥}) ∈ (mzPoly‘𝐼))
50 mzpproj 37802 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑥𝐼) → (𝑦 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝐼) ↦ (𝑦𝑥)) ∈ (mzPoly‘𝐼))
5150adantlr 753 . . . . 5 (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑦 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝐼) ↦ (𝑦𝑥)) ∈ (mzPoly‘𝐼))
52 simpr 479 . . . . 5 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) → 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
531, 21, 24, 4, 38, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 51, 52mpfind 19738 . . . 4 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) → 𝑎 ∈ (mzPoly‘𝐼))
5434, 53impbida 913 . . 3 (𝐼 ∈ V → (𝑎 ∈ (mzPoly‘𝐼) ↔ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)))
5554eqrdv 2758 . 2 (𝐼 ∈ V → (mzPoly‘𝐼) = ran (𝐼 eval ℤring))
56 fvprc 6346 . . 3 𝐼 ∈ V → (mzPoly‘𝐼) = ∅)
57 df-evl 19709 . . . . . . 7 eval = (𝑎 ∈ V, 𝑏 ∈ V ↦ ((𝑎 evalSub 𝑏)‘(Base‘𝑏)))
5857reldmmpt2 6936 . . . . . 6 Rel dom eval
5958ovprc1 6847 . . . . 5 𝐼 ∈ V → (𝐼 eval ℤring) = ∅)
6059rneqd 5508 . . . 4 𝐼 ∈ V → ran (𝐼 eval ℤring) = ran ∅)
61 rn0 5532 . . . 4 ran ∅ = ∅
6260, 61syl6eq 2810 . . 3 𝐼 ∈ V → ran (𝐼 eval ℤring) = ∅)
6356, 62eqtr4d 2797 . 2 𝐼 ∈ V → (mzPoly‘𝐼) = ran (𝐼 eval ℤring))
6455, 63pm2.61i 176 1 (mzPoly‘𝐼) = ran (𝐼 eval ℤring)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  Vcvv 3340  c0 4058  {csn 4321  cmpt 4881   × cxp 5264  ran crn 5267  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  𝑓 cof 7060  𝑚 cmap 8023   + caddc 10131   · cmul 10133  cz 11569  Basecbs 16059  Ringcrg 18747  CRingccrg 18748  SubRingcsubrg 18978   evalSub ces 19706   eval cevl 19707  ringzring 20020  mzPolycmzp 37787
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-addf 10207  ax-mulf 10208
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-ofr 7063  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-sup 8513  df-oi 8580  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-seq 12996  df-hash 13312  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-hom 16168  df-cco 16169  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-prds 16310  df-pws 16312  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-mhm 17536  df-submnd 17537  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-sbg 17628  df-mulg 17742  df-subg 17792  df-ghm 17859  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-abl 18396  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-srg 18706  df-ring 18749  df-cring 18750  df-rnghom 18917  df-subrg 18980  df-lmod 19067  df-lss 19135  df-lsp 19174  df-assa 19514  df-asp 19515  df-ascl 19516  df-psr 19558  df-mvr 19559  df-mpl 19560  df-evls 19708  df-evl 19709  df-cnfld 19949  df-zring 20021  df-mzpcl 37788  df-mzp 37789
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator