Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mzpindd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mzpindd 37829
Description: "Structural" induction to prove properties of all polynomial functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mzpindd.co ((𝜑𝑓 ∈ ℤ) → 𝜒)
mzpindd.pr ((𝜑𝑓𝑉) → 𝜃)
mzpindd.ad ((𝜑 ∧ (𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)) → 𝜁)
mzpindd.mu ((𝜑 ∧ (𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)) → 𝜎)
mzpindd.1 (𝑥 = ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) → (𝜓𝜒))
mzpindd.2 (𝑥 = (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) → (𝜓𝜃))
mzpindd.3 (𝑥 = 𝑓 → (𝜓𝜏))
mzpindd.4 (𝑥 = 𝑔 → (𝜓𝜂))
mzpindd.5 (𝑥 = (𝑓𝑓 + 𝑔) → (𝜓𝜁))
mzpindd.6 (𝑥 = (𝑓𝑓 · 𝑔) → (𝜓𝜎))
mzpindd.7 (𝑥 = 𝐴 → (𝜓𝜌))
Assertion
Ref Expression
mzpindd ((𝜑𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝜌)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑓,𝑔   𝜓,𝑓,𝑔   𝜒,𝑥   𝜃,𝑥   𝜏,𝑥   𝜂,𝑥   𝜁,𝑥   𝜎,𝑥   𝜌,𝑥   𝑥,𝑉,𝑓,𝑔   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑓,𝑔)   𝜃(𝑓,𝑔)   𝜏(𝑓,𝑔)   𝜂(𝑓,𝑔)   𝜁(𝑓,𝑔)   𝜎(𝑓,𝑔)   𝜌(𝑓,𝑔)   𝐴(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem mzpindd
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvex 6383 . . . 4 (𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉) → 𝑉 ∈ V)
21adantl 473 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝑉 ∈ V)
3 mzpval 37815 . . . . . . 7 (𝑉 ∈ V → (mzPoly‘𝑉) = (mzPolyCld‘𝑉))
43adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑉 ∈ V) → (mzPoly‘𝑉) = (mzPolyCld‘𝑉))
5 ssrab2 3828 . . . . . . . . . 10 {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ⊆ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉))
65a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑉 ∈ V) → {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ⊆ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)))
7 ovex 6842 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∈ V
8 zex 11598 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℤ ∈ V
97, 8constmap 37796 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 ∈ ℤ → ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)))
109adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓 ∈ ℤ) → ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)))
11 mzpindd.co . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓 ∈ ℤ) → 𝜒)
12 mzpindd.1 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) → (𝜓𝜒))
1312elrab 3504 . . . . . . . . . . . . 13 (((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ↔ (((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜒))
1410, 11, 13sylanbrc 701 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓 ∈ ℤ) → ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓})
1514ralrimiva 3104 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓})
1615adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑉 ∈ V) → ∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓})
178a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) → ℤ ∈ V)
18 simpllr 817 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) → 𝑉 ∈ V)
19 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) → 𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉))
20 elmapg 8038 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((ℤ ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V) → (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↔ 𝑔:𝑉⟶ℤ))
2120biimpa 502 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((ℤ ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) → 𝑔:𝑉⟶ℤ)
2217, 18, 19, 21syl21anc 1476 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) → 𝑔:𝑉⟶ℤ)
23 simplr 809 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) → 𝑓𝑉)
2422, 23ffvelrnd 6524 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) → (𝑔𝑓) ∈ ℤ)
25 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) = (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔𝑓))
2624, 25fmptd 6549 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓𝑉) → (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
278, 7elmap 8054 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ↔ (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
2826, 27sylibr 224 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓𝑉) → (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)))
29 mzpindd.pr . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓𝑉) → 𝜃)
3029adantlr 753 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓𝑉) → 𝜃)
31 mzpindd.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) → (𝜓𝜃))
3231elrab 3504 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ↔ ((𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜃))
3328, 30, 32sylanbrc 701 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓𝑉) → (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓})
3433ralrimiva 3104 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑉 ∈ V) → ∀𝑓𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓})
3516, 34jca 555 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑉 ∈ V) → (∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ ∀𝑓𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓}))
36 zaddcl 11629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ)
3736adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ)
38 simpl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ) → 𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
39 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ) → 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
407a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ) → (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∈ V)
41 inidm 3965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((ℤ ↑𝑚 𝑉) ∩ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) = (ℤ ↑𝑚 𝑉)
4237, 38, 39, 40, 40, 41off 7078 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ) → (𝑓𝑓 + 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
4342ad2ant2r 800 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)) → (𝑓𝑓 + 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
4443adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂))) → (𝑓𝑓 + 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
45 mzpindd.ad . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)) → 𝜁)
46453expb 1114 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂))) → 𝜁)
4744, 46jca 555 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂))) → ((𝑓𝑓 + 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜁))
48 zmulcl 11638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ)
4948adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ)
5049, 38, 39, 40, 40, 41off 7078 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ) → (𝑓𝑓 · 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
5150ad2ant2r 800 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)) → (𝑓𝑓 · 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
5251adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂))) → (𝑓𝑓 · 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
53 mzpindd.mu . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)) → 𝜎)
54533expb 1114 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂))) → 𝜎)
5547, 52, 54jca32 559 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂))) → (((𝑓𝑓 + 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜁) ∧ ((𝑓𝑓 · 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜎)))
5655ex 449 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)) → (((𝑓𝑓 + 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜁) ∧ ((𝑓𝑓 · 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜎))))
578, 7elmap 8054 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ↔ 𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
5857anbi1i 733 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜏) ↔ (𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏))
598, 7elmap 8054 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ↔ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
6059anbi1i 733 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜂) ↔ (𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂))
6158, 60anbi12i 735 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜏) ∧ (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜂)) ↔ ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)))
628, 7elmap 8054 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ↔ (𝑓𝑓 + 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
6362anbi1i 733 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜁) ↔ ((𝑓𝑓 + 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜁))
648, 7elmap 8054 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ↔ (𝑓𝑓 · 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
6564anbi1i 733 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜎) ↔ ((𝑓𝑓 · 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜎))
6663, 65anbi12i 735 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜁) ∧ ((𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜎)) ↔ (((𝑓𝑓 + 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜁) ∧ ((𝑓𝑓 · 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜎)))
6756, 61, 663imtr4g 285 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑓 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜏) ∧ (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜂)) → (((𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜁) ∧ ((𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜎))))
68 mzpindd.3 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑓 → (𝜓𝜏))
6968elrab 3504 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ↔ (𝑓 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜏))
70 mzpindd.4 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑔 → (𝜓𝜂))
7170elrab 3504 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ↔ (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜂))
7269, 71anbi12i 735 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ 𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓}) ↔ ((𝑓 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜏) ∧ (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜂)))
73 mzpindd.5 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑓𝑓 + 𝑔) → (𝜓𝜁))
7473elrab 3504 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ↔ ((𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜁))
75 mzpindd.6 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑓𝑓 · 𝑔) → (𝜓𝜎))
7675elrab 3504 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ↔ ((𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜎))
7774, 76anbi12i 735 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ (𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓}) ↔ (((𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜁) ∧ ((𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜎)))
7867, 72, 773imtr4g 285 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ 𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓}) → ((𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ (𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓})))
7978ralrimivv 3108 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓}∀𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ((𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ (𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓}))
8079adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑉 ∈ V) → ∀𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓}∀𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ((𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ (𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓}))
816, 35, 80jca32 559 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑉 ∈ V) → ({𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ⊆ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ ((∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ ∀𝑓𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓}) ∧ ∀𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓}∀𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ((𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ (𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓}))))
82 elmzpcl 37809 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∈ V → ({𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ↔ ({𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ⊆ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ ((∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ ∀𝑓𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓}) ∧ ∀𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓}∀𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ((𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ (𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓})))))
8382adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑉 ∈ V) → ({𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ↔ ({𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ⊆ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ ((∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ ∀𝑓𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓}) ∧ ∀𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓}∀𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ((𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ (𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓})))))
8481, 83mpbird 247 . . . . . . 7 ((𝜑𝑉 ∈ V) → {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∈ (mzPolyCld‘𝑉))
85 intss1 4644 . . . . . . 7 ({𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∈ (mzPolyCld‘𝑉) → (mzPolyCld‘𝑉) ⊆ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓})
8684, 85syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑉 ∈ V) → (mzPolyCld‘𝑉) ⊆ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓})
874, 86eqsstrd 3780 . . . . 5 ((𝜑𝑉 ∈ V) → (mzPoly‘𝑉) ⊆ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓})
8887sselda 3744 . . . 4 (((𝜑𝑉 ∈ V) ∧ 𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓})
8988an32s 881 . . 3 (((𝜑𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉)) ∧ 𝑉 ∈ V) → 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓})
902, 89mpdan 705 . 2 ((𝜑𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓})
91 mzpindd.7 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝜓𝜌))
9291elrab 3504 . . 3 (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ↔ (𝐴 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜌))
9392simprbi 483 . 2 (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} → 𝜌)
9490, 93syl 17 1 ((𝜑𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝜌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  {crab 3054  Vcvv 3340  wss 3715  {csn 4321   cint 4627  cmpt 4881   × cxp 5264  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6814  𝑓 cof 7061  𝑚 cmap 8025   + caddc 10151   · cmul 10153  cz 11589  mzPolyCldcmzpcl 37804  mzPolycmzp 37805
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-om 7232  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-n0 11505  df-z 11590  df-mzpcl 37806  df-mzp 37807
This theorem is referenced by:  mzpmfp  37830  mzpsubst  37831  mzpcompact2lem  37834  mzpcong  38059
  Copyright terms: Public domain W3C validator