Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mzpexpmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mzpexpmpt 37625
Description: Raise a polynomial function to a (fixed) exponent. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpexpmpt (((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴𝐷)) ∈ (mzPoly‘𝑉))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝐷
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem mzpexpmpt
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6698 . . . . . 6 (𝑎 = 0 → (𝐴𝑎) = (𝐴↑0))
21mpteq2dv 4778 . . . . 5 (𝑎 = 0 → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴𝑎)) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴↑0)))
32eleq1d 2715 . . . 4 (𝑎 = 0 → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴𝑎)) ∈ (mzPoly‘𝑉) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴↑0)) ∈ (mzPoly‘𝑉)))
43imbi2d 329 . . 3 (𝑎 = 0 → (((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴𝑎)) ∈ (mzPoly‘𝑉)) ↔ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴↑0)) ∈ (mzPoly‘𝑉))))
5 oveq2 6698 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏 → (𝐴𝑎) = (𝐴𝑏))
65mpteq2dv 4778 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴𝑎)) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴𝑏)))
76eleq1d 2715 . . . 4 (𝑎 = 𝑏 → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴𝑎)) ∈ (mzPoly‘𝑉) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴𝑏)) ∈ (mzPoly‘𝑉)))
87imbi2d 329 . . 3 (𝑎 = 𝑏 → (((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴𝑎)) ∈ (mzPoly‘𝑉)) ↔ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴𝑏)) ∈ (mzPoly‘𝑉))))
9 oveq2 6698 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐴𝑎) = (𝐴↑(𝑏 + 1)))
109mpteq2dv 4778 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴𝑎)) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴↑(𝑏 + 1))))
1110eleq1d 2715 . . . 4 (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴𝑎)) ∈ (mzPoly‘𝑉) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴↑(𝑏 + 1))) ∈ (mzPoly‘𝑉)))
1211imbi2d 329 . . 3 (𝑎 = (𝑏 + 1) → (((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴𝑎)) ∈ (mzPoly‘𝑉)) ↔ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴↑(𝑏 + 1))) ∈ (mzPoly‘𝑉))))
13 oveq2 6698 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐷 → (𝐴𝑎) = (𝐴𝐷))
1413mpteq2dv 4778 . . . . 5 (𝑎 = 𝐷 → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴𝑎)) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴𝐷)))
1514eleq1d 2715 . . . 4 (𝑎 = 𝐷 → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴𝑎)) ∈ (mzPoly‘𝑉) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴𝐷)) ∈ (mzPoly‘𝑉)))
1615imbi2d 329 . . 3 (𝑎 = 𝐷 → (((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴𝑎)) ∈ (mzPoly‘𝑉)) ↔ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴𝐷)) ∈ (mzPoly‘𝑉))))
17 mzpf 37616 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
18 zsscn 11423 . . . . . . 7 ℤ ⊆ ℂ
19 fss 6094 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ ℤ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℂ)
2017, 18, 19sylancl 695 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℂ)
21 eqid 2651 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴)
2221fmpt 6421 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)𝐴 ∈ ℂ ↔ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℂ)
2320, 22sylibr 224 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → ∀𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)𝐴 ∈ ℂ)
24 nfra1 2970 . . . . . 6 𝑥𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)𝐴 ∈ ℂ
25 rspa 2959 . . . . . . 7 ((∀𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) → 𝐴 ∈ ℂ)
2625exp0d 13042 . . . . . 6 ((∀𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) → (𝐴↑0) = 1)
2724, 26mpteq2da 4776 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴↑0)) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 1))
2823, 27syl 17 . . . 4 ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴↑0)) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 1))
29 elfvex 6259 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → 𝑉 ∈ V)
30 1z 11445 . . . . 5 1 ∈ ℤ
31 mzpconstmpt 37620 . . . . 5 ((𝑉 ∈ V ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘𝑉))
3229, 30, 31sylancl 695 . . . 4 ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘𝑉))
3328, 32eqeltrd 2730 . . 3 ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴↑0)) ∈ (mzPoly‘𝑉))
34233ad2ant2 1103 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴𝑏)) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → ∀𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)𝐴 ∈ ℂ)
35 simp1 1081 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴𝑏)) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝑏 ∈ ℕ0)
36 nfv 1883 . . . . . . . . 9 𝑥 𝑏 ∈ ℕ0
3724, 36nfan 1868 . . . . . . . 8 𝑥(∀𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)
3825adantlr 751 . . . . . . . . 9 (((∀𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) → 𝐴 ∈ ℂ)
39 simplr 807 . . . . . . . . 9 (((∀𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) → 𝑏 ∈ ℕ0)
4038, 39expp1d 13049 . . . . . . . 8 (((∀𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) → (𝐴↑(𝑏 + 1)) = ((𝐴𝑏) · 𝐴))
4137, 40mpteq2da 4776 . . . . . . 7 ((∀𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴↑(𝑏 + 1))) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ ((𝐴𝑏) · 𝐴)))
4234, 35, 41syl2anc 694 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴𝑏)) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴↑(𝑏 + 1))) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ ((𝐴𝑏) · 𝐴)))
43 simp3 1083 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴𝑏)) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴𝑏)) ∈ (mzPoly‘𝑉))
44 simp2 1082 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴𝑏)) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉))
45 mzpmulmpt 37622 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴𝑏)) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ ((𝐴𝑏) · 𝐴)) ∈ (mzPoly‘𝑉))
4643, 44, 45syl2anc 694 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴𝑏)) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ ((𝐴𝑏) · 𝐴)) ∈ (mzPoly‘𝑉))
4742, 46eqeltrd 2730 . . . . 5 ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴𝑏)) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴↑(𝑏 + 1))) ∈ (mzPoly‘𝑉))
48473exp 1283 . . . 4 (𝑏 ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴𝑏)) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴↑(𝑏 + 1))) ∈ (mzPoly‘𝑉))))
4948a2d 29 . . 3 (𝑏 ∈ ℕ0 → (((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴𝑏)) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴↑(𝑏 + 1))) ∈ (mzPoly‘𝑉))))
504, 8, 12, 16, 33, 49nn0ind 11510 . 2 (𝐷 ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴𝐷)) ∈ (mzPoly‘𝑉)))
5150impcom 445 1 (((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴𝐷)) ∈ (mzPoly‘𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  Vcvv 3231  wss 3607  cmpt 4762  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  𝑚 cmap 7899  cc 9972  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  0cn0 11330  cz 11415  cexp 12900  mzPolycmzp 37602
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-seq 12842  df-exp 12901  df-mzpcl 37603  df-mzp 37604
This theorem is referenced by:  diophin  37653  rmydioph  37898  rmxdioph  37900  expdiophlem2  37906
  Copyright terms: Public domain W3C validator