Theorem mzpconstmpt 37824

Description: A constant function expressed in maps-to notation is polynomial. This theorem and the several that follow (mzpaddmpt 37825, mzpmulmpt 37826, mzpnegmpt 37828, mzpsubmpt 37827, mzpexpmpt 37829) can be used to build proofs that functions which are "manifestly polynomial", in the sense of being a maps-to containing constants, projections, and simple arithmetic operations, are actually polynomial functions. There is no mzpprojmpt because mzpproj 37821 is already expressed using maps-to notation. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mzpconstmpt	⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐶) ∈ (mzPoly‘𝑉))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝐶

Proof of Theorem mzpconstmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconstmpt 5321	. 2 ⊢ ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝐶}) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐶)
2		mzpconst 37819	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝐶}) ∈ (mzPoly‘𝑉))
3	1, 2	syl5eqelr 2845	1 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐶) ∈ (mzPoly‘𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∈ wcel 2140  Vcvv 3341  {csn 4322   ↦ cmpt 4882   × cxp 5265  ‘cfv 6050  (class class class)co 6815   ↑_𝑚 cmap 8026  ℤcz 11590  mzPolycmzp 37806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-of 7064  df-om 7233  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-er 7914  df-map 8028  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-nn 11234  df-n0 11506  df-z 11591  df-mzpcl 37807  df-mzp 37808

This theorem is referenced by:  mzpsubmpt  37827  mzpnegmpt  37828  mzpexpmpt  37829  mzpsubst  37832  0dioph  37863  vdioph  37864  eluzrabdioph  37891  rmydioph  38102  rmxdioph  38104  expdiophlem2  38110  expdioph  38111