Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mzpcong Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mzpcong 38058
Description: Polynomials commute with congruences. (Does this characterize them?) (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpcong ((𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) → 𝑁 ∥ ((𝐹𝑋) − (𝐹𝑌)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑋   𝑘,𝑉   𝑘,𝑌   𝑘,𝑁
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem mzpcong
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvex 6362 . . 3 (𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) → 𝑉 ∈ V)
213anim1i 1154 . 2 ((𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) → (𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))))
3 simp1 1129 . 2 ((𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) → 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉))
4 simpl3l 1285 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
5 simpr 471 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈ ℤ)
6 congid 38057 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑏𝑏))
74, 5, 6syl2anc 565 . . . 4 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑏𝑏))
8 simpl2l 1281 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉))
9 vex 3352 . . . . . . 7 𝑏 ∈ V
109fvconst2 6612 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) → (((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑏})‘𝑋) = 𝑏)
118, 10syl 17 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑏})‘𝑋) = 𝑏)
12 simpl2r 1283 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉))
139fvconst2 6612 . . . . . 6 (𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) → (((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑏})‘𝑌) = 𝑏)
1412, 13syl 17 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑏})‘𝑌) = 𝑏)
1511, 14oveq12d 6810 . . . 4 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑏})‘𝑋) − (((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑏})‘𝑌)) = (𝑏𝑏))
167, 15breqtrrd 4812 . . 3 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ ((((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑏})‘𝑋) − (((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑏})‘𝑌)))
17 simpr 471 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ 𝑏𝑉) → 𝑏𝑉)
18 simpl3r 1287 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ 𝑏𝑉) → ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))
19 fveq2 6332 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑏 → (𝑋𝑘) = (𝑋𝑏))
20 fveq2 6332 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑏 → (𝑌𝑘) = (𝑌𝑏))
2119, 20oveq12d 6810 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑏 → ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)) = ((𝑋𝑏) − (𝑌𝑏)))
2221breq2d 4796 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑏 → (𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑋𝑏) − (𝑌𝑏))))
2322rspcva 3456 . . . . 5 ((𝑏𝑉 ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘))) → 𝑁 ∥ ((𝑋𝑏) − (𝑌𝑏)))
2417, 18, 23syl2anc 565 . . . 4 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ 𝑏𝑉) → 𝑁 ∥ ((𝑋𝑏) − (𝑌𝑏)))
25 simpl2l 1281 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ 𝑏𝑉) → 𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉))
26 fveq1 6331 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑋 → (𝑐𝑏) = (𝑋𝑏))
27 eqid 2770 . . . . . . 7 (𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐𝑏)) = (𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐𝑏))
28 fvex 6342 . . . . . . 7 (𝑋𝑏) ∈ V
2926, 27, 28fvmpt 6424 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) → ((𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐𝑏))‘𝑋) = (𝑋𝑏))
3025, 29syl 17 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ 𝑏𝑉) → ((𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐𝑏))‘𝑋) = (𝑋𝑏))
31 simpl2r 1283 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ 𝑏𝑉) → 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉))
32 fveq1 6331 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑌 → (𝑐𝑏) = (𝑌𝑏))
33 fvex 6342 . . . . . . 7 (𝑌𝑏) ∈ V
3432, 27, 33fvmpt 6424 . . . . . 6 (𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) → ((𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐𝑏))‘𝑌) = (𝑌𝑏))
3531, 34syl 17 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ 𝑏𝑉) → ((𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐𝑏))‘𝑌) = (𝑌𝑏))
3630, 35oveq12d 6810 . . . 4 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ 𝑏𝑉) → (((𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐𝑏))‘𝑋) − ((𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐𝑏))‘𝑌)) = ((𝑋𝑏) − (𝑌𝑏)))
3724, 36breqtrrd 4812 . . 3 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ 𝑏𝑉) → 𝑁 ∥ (((𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐𝑏))‘𝑋) − ((𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐𝑏))‘𝑌)))
38 simp13l 1371 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
39 simp2l 1240 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))) → 𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
40 simp12l 1369 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))) → 𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉))
4139, 40ffvelrnd 6503 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))) → (𝑏𝑋) ∈ ℤ)
42 simp12r 1370 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))) → 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉))
4339, 42ffvelrnd 6503 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))) → (𝑏𝑌) ∈ ℤ)
44 simp3l 1242 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))) → 𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
4544, 40ffvelrnd 6503 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))) → (𝑐𝑋) ∈ ℤ)
4644, 42ffvelrnd 6503 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))) → (𝑐𝑌) ∈ ℤ)
47 simp2r 1241 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))) → 𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌)))
48 simp3r 1243 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))) → 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))
49 congadd 38052 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏𝑋) ∈ ℤ ∧ (𝑏𝑌) ∈ ℤ) ∧ ((𝑐𝑋) ∈ ℤ ∧ (𝑐𝑌) ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌)) ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))) → 𝑁 ∥ (((𝑏𝑋) + (𝑐𝑋)) − ((𝑏𝑌) + (𝑐𝑌))))
5038, 41, 43, 45, 46, 47, 48, 49syl322anc 1503 . . . 4 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))) → 𝑁 ∥ (((𝑏𝑋) + (𝑐𝑋)) − ((𝑏𝑌) + (𝑐𝑌))))
51 ffn 6185 . . . . . . 7 (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ → 𝑏 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉))
5239, 51syl 17 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))) → 𝑏 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉))
53 ffn 6185 . . . . . . 7 (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ → 𝑐 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉))
5444, 53syl 17 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))) → 𝑐 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉))
55 ovexd 6824 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))) → (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∈ V)
56 fnfvof 7057 . . . . . 6 (((𝑏 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ ((ℤ ↑𝑚 𝑉) ∈ V ∧ 𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉))) → ((𝑏𝑓 + 𝑐)‘𝑋) = ((𝑏𝑋) + (𝑐𝑋)))
5752, 54, 55, 40, 56syl22anc 1476 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))) → ((𝑏𝑓 + 𝑐)‘𝑋) = ((𝑏𝑋) + (𝑐𝑋)))
58 fnfvof 7057 . . . . . 6 (((𝑏 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ ((ℤ ↑𝑚 𝑉) ∈ V ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉))) → ((𝑏𝑓 + 𝑐)‘𝑌) = ((𝑏𝑌) + (𝑐𝑌)))
5952, 54, 55, 42, 58syl22anc 1476 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))) → ((𝑏𝑓 + 𝑐)‘𝑌) = ((𝑏𝑌) + (𝑐𝑌)))
6057, 59oveq12d 6810 . . . 4 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))) → (((𝑏𝑓 + 𝑐)‘𝑋) − ((𝑏𝑓 + 𝑐)‘𝑌)) = (((𝑏𝑋) + (𝑐𝑋)) − ((𝑏𝑌) + (𝑐𝑌))))
6150, 60breqtrrd 4812 . . 3 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))) → 𝑁 ∥ (((𝑏𝑓 + 𝑐)‘𝑋) − ((𝑏𝑓 + 𝑐)‘𝑌)))
62 congmul 38053 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏𝑋) ∈ ℤ ∧ (𝑏𝑌) ∈ ℤ) ∧ ((𝑐𝑋) ∈ ℤ ∧ (𝑐𝑌) ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌)) ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))) → 𝑁 ∥ (((𝑏𝑋) · (𝑐𝑋)) − ((𝑏𝑌) · (𝑐𝑌))))
6338, 41, 43, 45, 46, 47, 48, 62syl322anc 1503 . . . 4 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))) → 𝑁 ∥ (((𝑏𝑋) · (𝑐𝑋)) − ((𝑏𝑌) · (𝑐𝑌))))
64 fnfvof 7057 . . . . . 6 (((𝑏 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ ((ℤ ↑𝑚 𝑉) ∈ V ∧ 𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉))) → ((𝑏𝑓 · 𝑐)‘𝑋) = ((𝑏𝑋) · (𝑐𝑋)))
6552, 54, 55, 40, 64syl22anc 1476 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))) → ((𝑏𝑓 · 𝑐)‘𝑋) = ((𝑏𝑋) · (𝑐𝑋)))
66 fnfvof 7057 . . . . . 6 (((𝑏 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ ((ℤ ↑𝑚 𝑉) ∈ V ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉))) → ((𝑏𝑓 · 𝑐)‘𝑌) = ((𝑏𝑌) · (𝑐𝑌)))
6752, 54, 55, 42, 66syl22anc 1476 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))) → ((𝑏𝑓 · 𝑐)‘𝑌) = ((𝑏𝑌) · (𝑐𝑌)))
6865, 67oveq12d 6810 . . . 4 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))) → (((𝑏𝑓 · 𝑐)‘𝑋) − ((𝑏𝑓 · 𝑐)‘𝑌)) = (((𝑏𝑋) · (𝑐𝑋)) − ((𝑏𝑌) · (𝑐𝑌))))
6963, 68breqtrrd 4812 . . 3 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))) → 𝑁 ∥ (((𝑏𝑓 · 𝑐)‘𝑋) − ((𝑏𝑓 · 𝑐)‘𝑌)))
70 fveq1 6331 . . . . 5 (𝑎 = ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑏}) → (𝑎𝑋) = (((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑏})‘𝑋))
71 fveq1 6331 . . . . 5 (𝑎 = ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑏}) → (𝑎𝑌) = (((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑏})‘𝑌))
7270, 71oveq12d 6810 . . . 4 (𝑎 = ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑏}) → ((𝑎𝑋) − (𝑎𝑌)) = ((((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑏})‘𝑋) − (((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑏})‘𝑌)))
7372breq2d 4796 . . 3 (𝑎 = ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑏}) → (𝑁 ∥ ((𝑎𝑋) − (𝑎𝑌)) ↔ 𝑁 ∥ ((((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑏})‘𝑋) − (((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑏})‘𝑌))))
74 fveq1 6331 . . . . 5 (𝑎 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐𝑏)) → (𝑎𝑋) = ((𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐𝑏))‘𝑋))
75 fveq1 6331 . . . . 5 (𝑎 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐𝑏)) → (𝑎𝑌) = ((𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐𝑏))‘𝑌))
7674, 75oveq12d 6810 . . . 4 (𝑎 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐𝑏)) → ((𝑎𝑋) − (𝑎𝑌)) = (((𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐𝑏))‘𝑋) − ((𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐𝑏))‘𝑌)))
7776breq2d 4796 . . 3 (𝑎 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐𝑏)) → (𝑁 ∥ ((𝑎𝑋) − (𝑎𝑌)) ↔ 𝑁 ∥ (((𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐𝑏))‘𝑋) − ((𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐𝑏))‘𝑌))))
78 fveq1 6331 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → (𝑎𝑋) = (𝑏𝑋))
79 fveq1 6331 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → (𝑎𝑌) = (𝑏𝑌))
8078, 79oveq12d 6810 . . . 4 (𝑎 = 𝑏 → ((𝑎𝑋) − (𝑎𝑌)) = ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌)))
8180breq2d 4796 . . 3 (𝑎 = 𝑏 → (𝑁 ∥ ((𝑎𝑋) − (𝑎𝑌)) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌))))
82 fveq1 6331 . . . . 5 (𝑎 = 𝑐 → (𝑎𝑋) = (𝑐𝑋))
83 fveq1 6331 . . . . 5 (𝑎 = 𝑐 → (𝑎𝑌) = (𝑐𝑌))
8482, 83oveq12d 6810 . . . 4 (𝑎 = 𝑐 → ((𝑎𝑋) − (𝑎𝑌)) = ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))
8584breq2d 4796 . . 3 (𝑎 = 𝑐 → (𝑁 ∥ ((𝑎𝑋) − (𝑎𝑌)) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌))))
86 fveq1 6331 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏𝑓 + 𝑐) → (𝑎𝑋) = ((𝑏𝑓 + 𝑐)‘𝑋))
87 fveq1 6331 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏𝑓 + 𝑐) → (𝑎𝑌) = ((𝑏𝑓 + 𝑐)‘𝑌))
8886, 87oveq12d 6810 . . . 4 (𝑎 = (𝑏𝑓 + 𝑐) → ((𝑎𝑋) − (𝑎𝑌)) = (((𝑏𝑓 + 𝑐)‘𝑋) − ((𝑏𝑓 + 𝑐)‘𝑌)))
8988breq2d 4796 . . 3 (𝑎 = (𝑏𝑓 + 𝑐) → (𝑁 ∥ ((𝑎𝑋) − (𝑎𝑌)) ↔ 𝑁 ∥ (((𝑏𝑓 + 𝑐)‘𝑋) − ((𝑏𝑓 + 𝑐)‘𝑌))))
90 fveq1 6331 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏𝑓 · 𝑐) → (𝑎𝑋) = ((𝑏𝑓 · 𝑐)‘𝑋))
91 fveq1 6331 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏𝑓 · 𝑐) → (𝑎𝑌) = ((𝑏𝑓 · 𝑐)‘𝑌))
9290, 91oveq12d 6810 . . . 4 (𝑎 = (𝑏𝑓 · 𝑐) → ((𝑎𝑋) − (𝑎𝑌)) = (((𝑏𝑓 · 𝑐)‘𝑋) − ((𝑏𝑓 · 𝑐)‘𝑌)))
9392breq2d 4796 . . 3 (𝑎 = (𝑏𝑓 · 𝑐) → (𝑁 ∥ ((𝑎𝑋) − (𝑎𝑌)) ↔ 𝑁 ∥ (((𝑏𝑓 · 𝑐)‘𝑋) − ((𝑏𝑓 · 𝑐)‘𝑌))))
94 fveq1 6331 . . . . 5 (𝑎 = 𝐹 → (𝑎𝑋) = (𝐹𝑋))
95 fveq1 6331 . . . . 5 (𝑎 = 𝐹 → (𝑎𝑌) = (𝐹𝑌))
9694, 95oveq12d 6810 . . . 4 (𝑎 = 𝐹 → ((𝑎𝑋) − (𝑎𝑌)) = ((𝐹𝑋) − (𝐹𝑌)))
9796breq2d 4796 . . 3 (𝑎 = 𝐹 → (𝑁 ∥ ((𝑎𝑋) − (𝑎𝑌)) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐹𝑋) − (𝐹𝑌))))
9816, 37, 61, 69, 73, 77, 81, 85, 89, 93, 97mzpindd 37828 . 2 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝑁 ∥ ((𝐹𝑋) − (𝐹𝑌)))
992, 3, 98syl2anc 565 1 ((𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) → 𝑁 ∥ ((𝐹𝑋) − (𝐹𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1070   = wceq 1630  wcel 2144  wral 3060  Vcvv 3349  {csn 4314   class class class wbr 4784  cmpt 4861   × cxp 5247   Fn wfn 6026  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6792  𝑓 cof 7041  𝑚 cmap 8008   + caddc 10140   · cmul 10142  cmin 10467  cz 11578  cdvds 15188  mzPolycmzp 37804
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-of 7043  df-om 7212  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-map 8010  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-n0 11494  df-z 11579  df-dvds 15189  df-mzpcl 37805  df-mzp 37806
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator