Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mzpcompact2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mzpcompact2 37841
 Description: Polynomials are finitary objects and can only reference a finite number of variables, even if the index set is infinite. Thus, every polynomial can be expressed as a (uniquely minimal, although we do not prove that) polynomial on a finite number of variables, which is then extended by adding an arbitrary set of ignored variables. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpcompact2 (𝐴 ∈ (mzPoly‘𝐵) → ∃𝑎 ∈ Fin ∃𝑏 ∈ (mzPoly‘𝑎)(𝑎𝐵𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝐵) ↦ (𝑏‘(𝑐𝑎)))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏   𝐵,𝑎,𝑏,𝑐
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑐)

Proof of Theorem mzpcompact2
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvex 6364 . 2 (𝐴 ∈ (mzPoly‘𝐵) → 𝐵 ∈ V)
2 fveq2 6333 . . . . 5 (𝑑 = 𝐵 → (mzPoly‘𝑑) = (mzPoly‘𝐵))
32eleq2d 2836 . . . 4 (𝑑 = 𝐵 → (𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑑) ↔ 𝐴 ∈ (mzPoly‘𝐵)))
4 sseq2 3776 . . . . . 6 (𝑑 = 𝐵 → (𝑎𝑑𝑎𝐵))
5 oveq2 6804 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝐵 → (ℤ ↑𝑚 𝑑) = (ℤ ↑𝑚 𝐵))
65mpteq1d 4873 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝐵 → (𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑑) ↦ (𝑏‘(𝑐𝑎))) = (𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝐵) ↦ (𝑏‘(𝑐𝑎))))
76eqeq2d 2781 . . . . . 6 (𝑑 = 𝐵 → (𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑑) ↦ (𝑏‘(𝑐𝑎))) ↔ 𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝐵) ↦ (𝑏‘(𝑐𝑎)))))
84, 7anbi12d 616 . . . . 5 (𝑑 = 𝐵 → ((𝑎𝑑𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑑) ↦ (𝑏‘(𝑐𝑎)))) ↔ (𝑎𝐵𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝐵) ↦ (𝑏‘(𝑐𝑎))))))
982rexbidv 3205 . . . 4 (𝑑 = 𝐵 → (∃𝑎 ∈ Fin ∃𝑏 ∈ (mzPoly‘𝑎)(𝑎𝑑𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑑) ↦ (𝑏‘(𝑐𝑎)))) ↔ ∃𝑎 ∈ Fin ∃𝑏 ∈ (mzPoly‘𝑎)(𝑎𝐵𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝐵) ↦ (𝑏‘(𝑐𝑎))))))
103, 9imbi12d 333 . . 3 (𝑑 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑑) → ∃𝑎 ∈ Fin ∃𝑏 ∈ (mzPoly‘𝑎)(𝑎𝑑𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑑) ↦ (𝑏‘(𝑐𝑎))))) ↔ (𝐴 ∈ (mzPoly‘𝐵) → ∃𝑎 ∈ Fin ∃𝑏 ∈ (mzPoly‘𝑎)(𝑎𝐵𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝐵) ↦ (𝑏‘(𝑐𝑎)))))))
11 vex 3354 . . . 4 𝑑 ∈ V
1211mzpcompact2lem 37840 . . 3 (𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑑) → ∃𝑎 ∈ Fin ∃𝑏 ∈ (mzPoly‘𝑎)(𝑎𝑑𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑑) ↦ (𝑏‘(𝑐𝑎)))))
1310, 12vtoclg 3417 . 2 (𝐵 ∈ V → (𝐴 ∈ (mzPoly‘𝐵) → ∃𝑎 ∈ Fin ∃𝑏 ∈ (mzPoly‘𝑎)(𝑎𝐵𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝐵) ↦ (𝑏‘(𝑐𝑎))))))
141, 13mpcom 38 1 (𝐴 ∈ (mzPoly‘𝐵) → ∃𝑎 ∈ Fin ∃𝑏 ∈ (mzPoly‘𝑎)(𝑎𝐵𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝐵) ↦ (𝑏‘(𝑐𝑎)))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3062  Vcvv 3351   ⊆ wss 3723   ↦ cmpt 4864   ↾ cres 5252  ‘cfv 6030  (class class class)co 6796   ↑𝑚 cmap 8013  Fincfn 8113  ℤcz 11584  mzPolycmzp 37811 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-of 7048  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-n0 11500  df-z 11585  df-mzpcl 37812  df-mzp 37813 This theorem is referenced by:  eldioph2  37851
 Copyright terms: Public domain W3C validator