Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mzpclall Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mzpclall 37792
 Description: The set of all functions with the signature of a polynomial is a polynomially closed set. This is a lemma to show that the intersection in df-mzp 37789 is well-defined. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpclall (𝑉 ∈ V → (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))

Proof of Theorem mzpclall
Dummy variables 𝑣 𝑓 𝑔 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6821 . . . 4 (𝑣 = 𝑉 → (ℤ ↑𝑚 𝑣) = (ℤ ↑𝑚 𝑉))
21oveq2d 6829 . . 3 (𝑣 = 𝑉 → (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) = (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)))
3 fveq2 6352 . . 3 (𝑣 = 𝑉 → (mzPolyCld‘𝑣) = (mzPolyCld‘𝑉))
42, 3eleq12d 2833 . 2 (𝑣 = 𝑉 → ((ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∈ (mzPolyCld‘𝑣) ↔ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉)))
5 ssid 3765 . . 3 (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ⊆ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))
6 ovex 6841 . . . . . . 7 (ℤ ↑𝑚 𝑣) ∈ V
7 zex 11578 . . . . . . 7 ℤ ∈ V
86, 7constmap 37778 . . . . . 6 (𝑓 ∈ ℤ → ((ℤ ↑𝑚 𝑣) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)))
98rgen 3060 . . . . 5 𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑𝑚 𝑣) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))
10 vex 3343 . . . . . . . . . . 11 𝑣 ∈ V
117, 10elmap 8052 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑣) ↔ 𝑔:𝑣⟶ℤ)
12 ffvelrn 6520 . . . . . . . . . 10 ((𝑔:𝑣⟶ℤ ∧ 𝑓𝑣) → (𝑔𝑓) ∈ ℤ)
1311, 12sylanb 490 . . . . . . . . 9 ((𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑣) ∧ 𝑓𝑣) → (𝑔𝑓) ∈ ℤ)
1413ancoms 468 . . . . . . . 8 ((𝑓𝑣𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑣)) → (𝑔𝑓) ∈ ℤ)
15 eqid 2760 . . . . . . . 8 (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑣) ↦ (𝑔𝑓)) = (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑣) ↦ (𝑔𝑓))
1614, 15fmptd 6548 . . . . . . 7 (𝑓𝑣 → (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑣) ↦ (𝑔𝑓)):(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ)
177, 6elmap 8052 . . . . . . 7 ((𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑣) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ↔ (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑣) ↦ (𝑔𝑓)):(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ)
1816, 17sylibr 224 . . . . . 6 (𝑓𝑣 → (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑣) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)))
1918rgen 3060 . . . . 5 𝑓𝑣 (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑣) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))
209, 19pm3.2i 470 . . . 4 (∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑𝑚 𝑣) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∧ ∀𝑓𝑣 (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑣) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)))
21 zaddcl 11609 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ)
2221adantl 473 . . . . . . . 8 (((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ)
23 simpl 474 . . . . . . . 8 ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ) → 𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ)
24 simpr 479 . . . . . . . 8 ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ) → 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ)
25 ovexd 6843 . . . . . . . 8 ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ) → (ℤ ↑𝑚 𝑣) ∈ V)
26 inidm 3965 . . . . . . . 8 ((ℤ ↑𝑚 𝑣) ∩ (ℤ ↑𝑚 𝑣)) = (ℤ ↑𝑚 𝑣)
2722, 23, 24, 25, 25, 26off 7077 . . . . . . 7 ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ) → (𝑓𝑓 + 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ)
28 zmulcl 11618 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ)
2928adantl 473 . . . . . . . 8 (((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ)
3029, 23, 24, 25, 25, 26off 7077 . . . . . . 7 ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ) → (𝑓𝑓 · 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ)
3127, 30jca 555 . . . . . 6 ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ) → ((𝑓𝑓 + 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ ∧ (𝑓𝑓 · 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ))
327, 6elmap 8052 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ↔ 𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ)
337, 6elmap 8052 . . . . . . 7 (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ↔ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ)
3432, 33anbi12i 735 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))) ↔ (𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ))
357, 6elmap 8052 . . . . . . 7 ((𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ↔ (𝑓𝑓 + 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ)
367, 6elmap 8052 . . . . . . 7 ((𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ↔ (𝑓𝑓 · 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ)
3735, 36anbi12i 735 . . . . . 6 (((𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∧ (𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))) ↔ ((𝑓𝑓 + 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ ∧ (𝑓𝑓 · 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ))
3831, 34, 373imtr4i 281 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))) → ((𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∧ (𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))))
3938rgen2a 3115 . . . 4 𝑓 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))∀𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))((𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∧ (𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)))
4020, 39pm3.2i 470 . . 3 ((∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑𝑚 𝑣) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∧ ∀𝑓𝑣 (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑣) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))) ∧ ∀𝑓 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))∀𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))((𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∧ (𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))))
41 elmzpcl 37791 . . . 4 (𝑣 ∈ V → ((ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∈ (mzPolyCld‘𝑣) ↔ ((ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ⊆ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∧ ((∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑𝑚 𝑣) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∧ ∀𝑓𝑣 (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑣) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))) ∧ ∀𝑓 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))∀𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))((𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∧ (𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)))))))
4210, 41ax-mp 5 . . 3 ((ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∈ (mzPolyCld‘𝑣) ↔ ((ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ⊆ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∧ ((∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑𝑚 𝑣) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∧ ∀𝑓𝑣 (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑣) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))) ∧ ∀𝑓 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))∀𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))((𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∧ (𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))))))
435, 40, 42mpbir2an 993 . 2 (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∈ (mzPolyCld‘𝑣)
444, 43vtoclg 3406 1 (𝑉 ∈ V → (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ∀wral 3050  Vcvv 3340   ⊆ wss 3715  {csn 4321   ↦ cmpt 4881   × cxp 5264  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813   ∘𝑓 cof 7060   ↑𝑚 cmap 8023   + caddc 10131   · cmul 10133  ℤcz 11569  mzPolyCldcmzpcl 37786 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-n0 11485  df-z 11570  df-mzpcl 37788 This theorem is referenced by:  mzpcln0  37793  mzpincl  37799  mzpf  37801
 Copyright terms: Public domain W3C validator