MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mvrf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mvrf 19659
Description: The power series variable function is a function from the index set to elements of the power series structure representing 𝑋𝑖 for each 𝑖. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mvrf.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mvrf.v 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
mvrf.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
mvrf.i (𝜑𝐼𝑊)
mvrf.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
Assertion
Ref Expression
mvrf (𝜑𝑉:𝐼𝐵)

Proof of Theorem mvrf
Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mvrf.r . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2 eqid 2774 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3 eqid 2774 . . . . . . . . . 10 (1r𝑅) = (1r𝑅)
42, 3ringidcl 18796 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
51, 4syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
6 eqid 2774 . . . . . . . . . 10 (0g𝑅) = (0g𝑅)
72, 6ring0cl 18797 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
81, 7syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
95, 8ifcld 4280 . . . . . . 7 (𝜑 → if(𝑓 = (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 1, 0)), (1r𝑅), (0g𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
109ad2antrr 706 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑓 ∈ { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → if(𝑓 = (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 1, 0)), (1r𝑅), (0g𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
1110fmpttd 6545 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑓 ∈ { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑓 = (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 1, 0)), (1r𝑅), (0g𝑅))):{ ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
12 fvex 6359 . . . . . 6 (Base‘𝑅) ∈ V
13 ovex 6844 . . . . . . 7 (ℕ0𝑚 𝐼) ∈ V
1413rabex 4960 . . . . . 6 { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
1512, 14elmap 8059 . . . . 5 ((𝑓 ∈ { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑓 = (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 1, 0)), (1r𝑅), (0g𝑅))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) ↔ (𝑓 ∈ { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑓 = (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 1, 0)), (1r𝑅), (0g𝑅))):{ ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
1611, 15sylibr 225 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑓 ∈ { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑓 = (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 1, 0)), (1r𝑅), (0g𝑅))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}))
17 mvrf.s . . . . . 6 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
18 eqid 2774 . . . . . 6 { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} = { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
19 mvrf.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑆)
20 mvrf.i . . . . . 6 (𝜑𝐼𝑊)
2117, 2, 18, 19, 20psrbas 19613 . . . . 5 (𝜑𝐵 = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}))
2221adantr 467 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐵 = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}))
2316, 22eleqtrrd 2856 . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑓 ∈ { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑓 = (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 1, 0)), (1r𝑅), (0g𝑅))) ∈ 𝐵)
2423fmpttd 6545 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ (𝑓 ∈ { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑓 = (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 1, 0)), (1r𝑅), (0g𝑅)))):𝐼𝐵)
25 mvrf.v . . . 4 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
2625, 18, 6, 3, 20, 1mvrfval 19655 . . 3 (𝜑𝑉 = (𝑥𝐼 ↦ (𝑓 ∈ { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑓 = (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 1, 0)), (1r𝑅), (0g𝑅)))))
2726feq1d 6181 . 2 (𝜑 → (𝑉:𝐼𝐵 ↔ (𝑥𝐼 ↦ (𝑓 ∈ { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑓 = (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 1, 0)), (1r𝑅), (0g𝑅)))):𝐼𝐵))
2824, 27mpbird 248 1 (𝜑𝑉:𝐼𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1634  wcel 2148  {crab 3068  ifcif 4235  cmpt 4876  ccnv 5262  cima 5266  wf 6038  cfv 6042  (class class class)co 6812  𝑚 cmap 8030  Fincfn 8130  0cc0 10159  1c1 10160  cn 11243  0cn0 11516  Basecbs 16084  0gc0g 16328  1rcur 18729  Ringcrg 18775   mPwSer cmps 19586   mVar cmvr 19587
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1873  ax-4 1888  ax-5 1994  ax-6 2060  ax-7 2096  ax-8 2150  ax-9 2157  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2206  ax-13 2411  ax-ext 2754  ax-rep 4917  ax-sep 4928  ax-nul 4936  ax-pow 4988  ax-pr 5048  ax-un 7117  ax-cnex 10215  ax-resscn 10216  ax-1cn 10217  ax-icn 10218  ax-addcl 10219  ax-addrcl 10220  ax-mulcl 10221  ax-mulrcl 10222  ax-mulcom 10223  ax-addass 10224  ax-mulass 10225  ax-distr 10226  ax-i2m1 10227  ax-1ne0 10228  ax-1rid 10229  ax-rnegex 10230  ax-rrecex 10231  ax-cnre 10232  ax-pre-lttri 10233  ax-pre-lttrn 10234  ax-pre-ltadd 10235  ax-pre-mulgt0 10236
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 384  df-or 864  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1637  df-ex 1856  df-nf 1861  df-sb 2053  df-eu 2625  df-mo 2626  df-clab 2761  df-cleq 2767  df-clel 2770  df-nfc 2905  df-ne 2947  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3357  df-sbc 3594  df-csb 3689  df-dif 3732  df-un 3734  df-in 3736  df-ss 3743  df-pss 3745  df-nul 4074  df-if 4236  df-pw 4309  df-sn 4327  df-pr 4329  df-tp 4331  df-op 4333  df-uni 4586  df-int 4623  df-iun 4667  df-br 4798  df-opab 4860  df-mpt 4877  df-tr 4900  df-id 5171  df-eprel 5176  df-po 5184  df-so 5185  df-fr 5222  df-we 5224  df-xp 5269  df-rel 5270  df-cnv 5271  df-co 5272  df-dm 5273  df-rn 5274  df-res 5275  df-ima 5276  df-pred 5834  df-ord 5880  df-on 5881  df-lim 5882  df-suc 5883  df-iota 6005  df-fun 6044  df-fn 6045  df-f 6046  df-f1 6047  df-fo 6048  df-f1o 6049  df-fv 6050  df-riota 6773  df-ov 6815  df-oprab 6816  df-mpt2 6817  df-of 7065  df-om 7234  df-1st 7336  df-2nd 7337  df-supp 7468  df-wrecs 7580  df-recs 7642  df-rdg 7680  df-1o 7734  df-oadd 7738  df-er 7917  df-map 8032  df-en 8131  df-dom 8132  df-sdom 8133  df-fin 8134  df-fsupp 8453  df-pnf 10299  df-mnf 10300  df-xr 10301  df-ltxr 10302  df-le 10303  df-sub 10491  df-neg 10492  df-nn 11244  df-2 11302  df-3 11303  df-4 11304  df-5 11305  df-6 11306  df-7 11307  df-8 11308  df-9 11309  df-n0 11517  df-z 11602  df-uz 11911  df-fz 12556  df-struct 16086  df-ndx 16087  df-slot 16088  df-base 16090  df-sets 16091  df-plusg 16182  df-mulr 16183  df-sca 16185  df-vsca 16186  df-tset 16188  df-0g 16330  df-mgm 17470  df-sgrp 17512  df-mnd 17523  df-grp 17653  df-mgp 18718  df-ur 18730  df-ring 18777  df-psr 19591  df-mvr 19592
This theorem is referenced by:  mvrf1  19660  mvrcl2  19661  subrgmvrf  19697  mplbas2  19705  mvrf2  19727  evlseu  19751
  Copyright terms: Public domain W3C validator