Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mvmumamul1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mvmumamul1 20583
 Description: The multiplication of an MxN matrix with an N-dimensional vector corresponds to the matrix multiplication of an MxN matrix with an Nx1 matrix. (Contributed by AV, 14-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mvmumamul1.x × = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, {∅}⟩)
mvmumamul1.t · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑀, 𝑁⟩)
mvmumamul1.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mvmumamul1.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mvmumamul1.m (𝜑𝑀 ∈ Fin)
mvmumamul1.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
mvmumamul1.a (𝜑𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑁)))
mvmumamul1.y (𝜑𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝑁))
mvmumamul1.z (𝜑𝑍 ∈ (𝐵𝑚 (𝑁 × {∅})))
Assertion
Ref Expression
mvmumamul1 (𝜑 → (∀𝑗𝑁 (𝑌𝑗) = (𝑗𝑍∅) → ∀𝑖𝑀 ((𝐴 · 𝑌)‘𝑖) = (𝑖(𝐴 × 𝑍)∅)))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝑁   𝑖,𝑌,𝑗   𝑖,𝑍,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗)   𝐵(𝑖,𝑗)   𝑅(𝑖,𝑗)   · (𝑖,𝑗)   × (𝑖,𝑗)   𝑀(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mvmumamul1
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mvmumamul1.t . . . . . 6 · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑀, 𝑁⟩)
2 mvmumamul1.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 eqid 2761 . . . . . 6 (.r𝑅) = (.r𝑅)
4 mvmumamul1.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
54adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑀) → 𝑅 ∈ Ring)
6 mvmumamul1.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ Fin)
76adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑀) → 𝑀 ∈ Fin)
8 mvmumamul1.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
98adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑀) → 𝑁 ∈ Fin)
10 mvmumamul1.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑁)))
1110adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑀) → 𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑁)))
12 mvmumamul1.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝑁))
1312adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑀) → 𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝑁))
14 simpr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑀) → 𝑖𝑀)
151, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 14mvmulfv 20573 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑀) → ((𝐴 · 𝑌)‘𝑖) = (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r𝑅)(𝑌𝑘)))))
1615adantlr 753 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑗𝑁 (𝑌𝑗) = (𝑗𝑍∅)) ∧ 𝑖𝑀) → ((𝐴 · 𝑌)‘𝑖) = (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r𝑅)(𝑌𝑘)))))
17 fveq2 6354 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑘 → (𝑌𝑗) = (𝑌𝑘))
18 oveq1 6822 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗𝑍∅) = (𝑘𝑍∅))
1917, 18eqeq12d 2776 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑌𝑗) = (𝑗𝑍∅) ↔ (𝑌𝑘) = (𝑘𝑍∅)))
2019rspccv 3447 . . . . . . . . . 10 (∀𝑗𝑁 (𝑌𝑗) = (𝑗𝑍∅) → (𝑘𝑁 → (𝑌𝑘) = (𝑘𝑍∅)))
2120adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ∀𝑗𝑁 (𝑌𝑗) = (𝑗𝑍∅)) → (𝑘𝑁 → (𝑌𝑘) = (𝑘𝑍∅)))
2221imp 444 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑗𝑁 (𝑌𝑗) = (𝑗𝑍∅)) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑌𝑘) = (𝑘𝑍∅))
2322oveq2d 6831 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑗𝑁 (𝑌𝑗) = (𝑗𝑍∅)) ∧ 𝑘𝑁) → ((𝑖𝐴𝑘)(.r𝑅)(𝑌𝑘)) = ((𝑖𝐴𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑍∅)))
2423mpteq2dva 4897 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∀𝑗𝑁 (𝑌𝑗) = (𝑗𝑍∅)) → (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r𝑅)(𝑌𝑘))) = (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑍∅))))
2524oveq2d 6831 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑗𝑁 (𝑌𝑗) = (𝑗𝑍∅)) → (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r𝑅)(𝑌𝑘)))) = (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑍∅)))))
2625adantr 472 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑗𝑁 (𝑌𝑗) = (𝑗𝑍∅)) ∧ 𝑖𝑀) → (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r𝑅)(𝑌𝑘)))) = (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑍∅)))))
27 mvmumamul1.x . . . . . . 7 × = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, {∅}⟩)
28 snfi 8206 . . . . . . . 8 {∅} ∈ Fin
2928a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑀) → {∅} ∈ Fin)
30 mvmumamul1.z . . . . . . . 8 (𝜑𝑍 ∈ (𝐵𝑚 (𝑁 × {∅})))
3130adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑀) → 𝑍 ∈ (𝐵𝑚 (𝑁 × {∅})))
32 0ex 4943 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ V
3332snid 4354 . . . . . . . 8 ∅ ∈ {∅}
3433a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑀) → ∅ ∈ {∅})
3527, 2, 3, 5, 7, 9, 29, 11, 31, 14, 34mamufv 20416 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑀) → (𝑖(𝐴 × 𝑍)∅) = (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑍∅)))))
3635eqcomd 2767 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑀) → (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑍∅)))) = (𝑖(𝐴 × 𝑍)∅))
3736adantlr 753 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑗𝑁 (𝑌𝑗) = (𝑗𝑍∅)) ∧ 𝑖𝑀) → (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑍∅)))) = (𝑖(𝐴 × 𝑍)∅))
3816, 26, 373eqtrd 2799 . . 3 (((𝜑 ∧ ∀𝑗𝑁 (𝑌𝑗) = (𝑗𝑍∅)) ∧ 𝑖𝑀) → ((𝐴 · 𝑌)‘𝑖) = (𝑖(𝐴 × 𝑍)∅))
3938ralrimiva 3105 . 2 ((𝜑 ∧ ∀𝑗𝑁 (𝑌𝑗) = (𝑗𝑍∅)) → ∀𝑖𝑀 ((𝐴 · 𝑌)‘𝑖) = (𝑖(𝐴 × 𝑍)∅))
4039ex 449 1 (𝜑 → (∀𝑗𝑁 (𝑌𝑗) = (𝑗𝑍∅) → ∀𝑖𝑀 ((𝐴 · 𝑌)‘𝑖) = (𝑖(𝐴 × 𝑍)∅)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2140  ∀wral 3051  ∅c0 4059  {csn 4322  ⟨cop 4328  ⟨cotp 4330   ↦ cmpt 4882   × cxp 5265  ‘cfv 6050  (class class class)co 6815   ↑𝑚 cmap 8026  Fincfn 8124  Basecbs 16080  .rcmulr 16165   Σg cgsu 16324  Ringcrg 18768   maMul cmmul 20412   maVecMul cmvmul 20569 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-ot 4331  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-1o 7731  df-en 8125  df-fin 8128  df-mamu 20413  df-mvmul 20570 This theorem is referenced by:  mavmumamul1  20584
 Copyright terms: Public domain W3C validator