Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  muval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem muval 25079
 Description: The value of the Möbius function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
muval (𝐴 ∈ ℕ → (μ‘𝐴) = if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}))))
Distinct variable group:   𝐴,𝑝

Proof of Theorem muval
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4790 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑝↑2) ∥ 𝑥 ↔ (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
21rexbidv 3200 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝑥 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
3 breq2 4790 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (𝑝𝑥𝑝𝐴))
43rabbidv 3339 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑥} = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴})
54fveq2d 6336 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑥}) = (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}))
65oveq2d 6809 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑥})) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴})))
72, 6ifbieq2d 4250 . 2 (𝑥 = 𝐴 → if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝑥, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑥}))) = if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}))))
8 df-mu 25048 . 2 μ = (𝑥 ∈ ℕ ↦ if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝑥, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑥}))))
9 c0ex 10236 . . 3 0 ∈ V
10 ovex 6823 . . 3 (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴})) ∈ V
119, 10ifex 4295 . 2 if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}))) ∈ V
127, 8, 11fvmpt 6424 1 (𝐴 ∈ ℕ → (μ‘𝐴) = if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3062  {crab 3065  ifcif 4225   class class class wbr 4786  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  0cc0 10138  1c1 10139  -cneg 10469  ℕcn 11222  2c2 11272  ↑cexp 13067  ♯chash 13321   ∥ cdvds 15189  ℙcprime 15592  μcmu 25042 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pr 5034  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-mulcl 10200  ax-i2m1 10206 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fv 6039  df-ov 6796  df-mu 25048 This theorem is referenced by:  muval1  25080  muval2  25081  isnsqf  25082  mule1  25095
 Copyright terms: Public domain W3C validator