Theorem mulvval 39197

Description: Value of the operation of scalar multiplication. (Contributed by Andrew Salmon, 27-Jan-2012.)

Assertion

Ref	Expression
mulvval	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴.𝑣𝐵) = (𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐵‘𝑣))))

Distinct variable groups:   𝑣,𝐴   𝑣,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑣)   𝐷(𝑣)

Proof of Theorem mulvval

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3364	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → 𝐴 ∈ V)
2		elex 3364	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 → 𝐵 ∈ V)
3		fveq1 6331	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑦‘𝑣) = (𝐵‘𝑣))
4		oveq12 6802	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∧ (𝑦‘𝑣) = (𝐵‘𝑣)) → (𝑥 · (𝑦‘𝑣)) = (𝐴 · (𝐵‘𝑣)))
5	3, 4	sylan2 580	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵) → (𝑥 · (𝑦‘𝑣)) = (𝐴 · (𝐵‘𝑣)))
6	5	mpteq2dv 4879	. . 3 ⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵) → (𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑥 · (𝑦‘𝑣))) = (𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐵‘𝑣))))
7		df-mulv 39194	. . 3 ⊢ .𝑣 = (𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑥 · (𝑦‘𝑣))))
8		reex 10229	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
9	8	mptex 6630	. . 3 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐵‘𝑣))) ∈ V
10	6, 7, 9	ovmpt2a 6938	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴.𝑣𝐵) = (𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐵‘𝑣))))
11	1, 2, 10	syl2an 583	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴.𝑣𝐵) = (𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐵‘𝑣))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  Vcvv 3351   ↦ cmpt 4863  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  ℝcr 10137   · cmul 10143  ._𝑣ctimesr 39188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pr 5034  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-mulv 39194

This theorem is referenced by:  mulvfv  39200  mulvfn  39203