MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulsuble0b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulsuble0b 11096
Description: A condition for multiplication of subtraction to be nonpositive. (Contributed by Scott Fenton, 25-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
mulsuble0b ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝐴𝐵) · (𝐶𝐵)) ≤ 0 ↔ ((𝐴𝐵𝐵𝐶) ∨ (𝐶𝐵𝐵𝐴))))

Proof of Theorem mulsuble0b
StepHypRef Expression
1 resubcl 10546 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
213adant3 1125 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
3 resubcl 10546 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶𝐵) ∈ ℝ)
43ancoms 455 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶𝐵) ∈ ℝ)
543adant1 1123 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶𝐵) ∈ ℝ)
6 mulle0b 11095 . . 3 (((𝐴𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝐵) ∈ ℝ) → (((𝐴𝐵) · (𝐶𝐵)) ≤ 0 ↔ (((𝐴𝐵) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝐶𝐵)) ∨ (0 ≤ (𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝐵) ≤ 0))))
72, 5, 6syl2anc 565 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝐴𝐵) · (𝐶𝐵)) ≤ 0 ↔ (((𝐴𝐵) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝐶𝐵)) ∨ (0 ≤ (𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝐵) ≤ 0))))
8 suble0 10743 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐵) ≤ 0 ↔ 𝐴𝐵))
983adant3 1125 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐵) ≤ 0 ↔ 𝐴𝐵))
10 subge0 10742 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐶𝐵) ↔ 𝐵𝐶))
1110ancoms 455 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐶𝐵) ↔ 𝐵𝐶))
12113adant1 1123 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐶𝐵) ↔ 𝐵𝐶))
139, 12anbi12d 608 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝐴𝐵) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝐶𝐵)) ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐶)))
14 subge0 10742 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴𝐵) ↔ 𝐵𝐴))
15143adant3 1125 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴𝐵) ↔ 𝐵𝐴))
16 suble0 10743 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐶𝐵) ≤ 0 ↔ 𝐶𝐵))
1716ancoms 455 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶𝐵) ≤ 0 ↔ 𝐶𝐵))
18173adant1 1123 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶𝐵) ≤ 0 ↔ 𝐶𝐵))
1915, 18anbi12d 608 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((0 ≤ (𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝐵) ≤ 0) ↔ (𝐵𝐴𝐶𝐵)))
20 ancom 452 . . . 4 ((𝐵𝐴𝐶𝐵) ↔ (𝐶𝐵𝐵𝐴))
2119, 20syl6bb 276 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((0 ≤ (𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝐵) ≤ 0) ↔ (𝐶𝐵𝐵𝐴)))
2213, 21orbi12d 883 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((((𝐴𝐵) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝐶𝐵)) ∨ (0 ≤ (𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝐵) ≤ 0)) ↔ ((𝐴𝐵𝐵𝐶) ∨ (𝐶𝐵𝐵𝐴))))
237, 22bitrd 268 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝐴𝐵) · (𝐶𝐵)) ≤ 0 ↔ ((𝐴𝐵𝐵𝐶) ∨ (𝐶𝐵𝐵𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  wo 826  w3a 1070  wcel 2144   class class class wbr 4784  (class class class)co 6792  cr 10136  0cc0 10137   · cmul 10142  cle 10276  cmin 10467
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886
This theorem is referenced by:  brbtwn2  26005
  Copyright terms: Public domain W3C validator