Theorem mulneg1d 10596

Description: Product with negative is negative of product. Theorem I.12 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulneg1d	⊢ (𝜑 → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulneg1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		mulneg1 10579	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 696	1 ⊢ (𝜑 → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1596   ∈ wcel 2103  (class class class)co 6765  ℂcc 10047   · cmul 10054  -cneg 10380

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-op 4292  df-uni 4545  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-id 5128  df-po 5139  df-so 5140  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-ltxr 10192  df-sub 10381  df-neg 10382

This theorem is referenced by:  divsubdiv  10854  recgt0  10980  xmulneg1  12213  expmulz  13021  discr1  13115  iseraltlem3  14534  incexclem  14688  incexc  14689  mulgass  17701  cphipval  23163  mbfmulc2lem  23534  mbfmulc2  23550  itg2monolem1  23637  itgmulc2  23720  dvrecg  23856  dvmptdiv  23857  dvexp3  23861  dvfsumlem2  23910  aaliou3lem2  24218  advlogexp  24521  logtayl2  24528  dcubic2  24691  dcubic  24693  ftalem5  24923  lgsdilem  25169  2sqlem4  25266  pntrsumo1  25374  pntrlog2bndlem4  25389  brbtwn2  25905  colinearalglem4  25909  axeuclidlem  25962  logdivsqrle  30958  fwddifnp1  32499  itgmulc2nc  33710  pellexlem6  37817  jm2.19lem1  37975  jm2.19lem4  37978  jm2.19  37979  binomcxplemnotnn0  38974  sineq0ALT  39589  mulltgt0  39597  fperiodmul  39934  cosknegpi  40500  itgsinexplem1  40589  stoweidlem13  40650  stoweidlem42  40679  fourierdlem39  40783  fourierdlem41  40785  fourierdlem48  40791  fourierdlem49  40792  fourierdlem64  40807  etransclem46  40917