MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulne0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulne0d 10881
Description: The product of two nonzero numbers is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
msq0d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
mul0ord.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
mulne0d.3 (𝜑𝐴 ≠ 0)
mulne0d.4 (𝜑𝐵 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
mulne0d (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)

Proof of Theorem mulne0d
StepHypRef Expression
1 mulne0d.3 . 2 (𝜑𝐴 ≠ 0)
2 mulne0d.4 . 2 (𝜑𝐵 ≠ 0)
3 msq0d.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
4 mul0ord.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
53, 4mulne0bd 10880 . 2 (𝜑 → ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0) ↔ (𝐴 · 𝐵) ≠ 0))
61, 2, 5mpbi2and 691 1 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2145  wne 2943  (class class class)co 6793  cc 10136  0cc0 10138   · cmul 10143
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471
This theorem is referenced by:  divdivdiv  10928  absrpcl  14236  prodfn0  14833  ntrivcvgmullem  14840  fprodn0f  14928  tanval3  15070  tanaddlem  15102  tanadd  15103  lcmgcdlem  15527  pcqmul  15765  abvdom  19048  itg1mulc  23691  dgrmul  24246  aalioulem4  24310  taylthlem2  24348  tanarg  24586  mulcxp  24652  cxpmul2  24656  relogbmul  24736  angcan  24753  ssscongptld  24773  chordthmlem2  24781  quad2  24787  dcubic2  24792  dcubic  24794  mcubic  24795  cubic2  24796  cubic  24797  lgamgulmlem2  24977  lgsdilem2  25279  lgsdi  25280  pntrlog2bndlem2  25488  padicabv  25540  ttgcontlem1  25986  qqhghm  30372  qqhrhm  30373  itgexpif  31024  knoppndvlem1  32840  knoppndvlem2  32841  knoppndvlem7  32846  knoppndvlem14  32853  knoppndvlem16  32855  itg2addnclem  33793  areacirclem1  33832  radcnvrat  39039  divcan8d  40043  mccllem  40347  clim1fr1  40351  reclimc  40403  dvdivcncf  40660  stoweidlem1  40735  wallispilem4  40802  wallispilem5  40803  wallispi2lem1  40805  wallispi2lem2  40806  wallispi2  40807  stirlinglem3  40810  stirlinglem4  40811  stirlinglem10  40817  stirlinglem12  40819  stirlinglem13  40820  stirlinglem14  40821  stirlinglem15  40822  dirker2re  40826  dirkerdenne0  40827  dirkerval2  40828  dirkerre  40829  dirkertrigeqlem2  40833  dirkertrigeqlem3  40834  dirkertrigeq  40835  dirkercncflem2  40838  dirkercncflem4  40840  fourierdlem43  40884  fourierdlem57  40897  fourierdlem58  40898  fourierdlem62  40902  fourierdlem66  40906  fourierdlem68  40908  fourierdlem72  40912  fourierdlem76  40916  fourierdlem78  40918  fourierdlem80  40920  fourierdlem103  40943  fourierdlem104  40944  fourierswlem  40964  fouriersw  40965  sigardiv  41570  cevathlem1  41576
  Copyright terms: Public domain W3C validator