MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulmarep1el Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulmarep1el 20551
Description: Element by element multiplication of a matrix with an identity matrix with a column replaced by a vector. (Contributed by AV, 16-Feb-2019.) (Revised by AV, 26-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
marepvcl.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
marepvcl.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
marepvcl.v 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁)
ma1repvcl.1 1 = (1r𝐴)
mulmarep1el.0 0 = (0g𝑅)
mulmarep1el.e 𝐸 = (( 1 (𝑁 matRepV 𝑅)𝐶)‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
mulmarep1el ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐿𝑁)) → ((𝐼𝑋𝐿)(.r𝑅)(𝐿𝐸𝐽)) = if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝐿)(.r𝑅)(𝐶𝐿)), if(𝐽 = 𝐿, (𝐼𝑋𝐿), 0 )))

Proof of Theorem mulmarep1el
StepHypRef Expression
1 simp3 1130 . . . . 5 ((𝐼𝑁𝐽𝑁𝐿𝑁) → 𝐿𝑁)
2 simp2 1129 . . . . 5 ((𝐼𝑁𝐽𝑁𝐿𝑁) → 𝐽𝑁)
31, 2jca 555 . . . 4 ((𝐼𝑁𝐽𝑁𝐿𝑁) → (𝐿𝑁𝐽𝑁))
4 marepvcl.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
5 marepvcl.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐴)
6 marepvcl.v . . . . 5 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁)
7 ma1repvcl.1 . . . . 5 1 = (1r𝐴)
8 mulmarep1el.0 . . . . 5 0 = (0g𝑅)
9 mulmarep1el.e . . . . 5 𝐸 = (( 1 (𝑁 matRepV 𝑅)𝐶)‘𝐾)
104, 5, 6, 7, 8, 9ma1repveval 20550 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐿𝑁𝐽𝑁)) → (𝐿𝐸𝐽) = if(𝐽 = 𝐾, (𝐶𝐿), if(𝐽 = 𝐿, (1r𝑅), 0 )))
113, 10syl3an3 1498 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐿𝑁)) → (𝐿𝐸𝐽) = if(𝐽 = 𝐾, (𝐶𝐿), if(𝐽 = 𝐿, (1r𝑅), 0 )))
1211oveq2d 6817 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐿𝑁)) → ((𝐼𝑋𝐿)(.r𝑅)(𝐿𝐸𝐽)) = ((𝐼𝑋𝐿)(.r𝑅)if(𝐽 = 𝐾, (𝐶𝐿), if(𝐽 = 𝐿, (1r𝑅), 0 ))))
13 ovif2 6891 . . 3 ((𝐼𝑋𝐿)(.r𝑅)if(𝐽 = 𝐾, (𝐶𝐿), if(𝐽 = 𝐿, (1r𝑅), 0 ))) = if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝐿)(.r𝑅)(𝐶𝐿)), ((𝐼𝑋𝐿)(.r𝑅)if(𝐽 = 𝐿, (1r𝑅), 0 )))
1413a1i 11 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐿𝑁)) → ((𝐼𝑋𝐿)(.r𝑅)if(𝐽 = 𝐾, (𝐶𝐿), if(𝐽 = 𝐿, (1r𝑅), 0 ))) = if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝐿)(.r𝑅)(𝐶𝐿)), ((𝐼𝑋𝐿)(.r𝑅)if(𝐽 = 𝐿, (1r𝑅), 0 ))))
15 ovif2 6891 . . . 4 ((𝐼𝑋𝐿)(.r𝑅)if(𝐽 = 𝐿, (1r𝑅), 0 )) = if(𝐽 = 𝐿, ((𝐼𝑋𝐿)(.r𝑅)(1r𝑅)), ((𝐼𝑋𝐿)(.r𝑅) 0 ))
16 simp1 1128 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐿𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
17 simp1 1128 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑁𝐽𝑁𝐿𝑁) → 𝐼𝑁)
18173ad2ant3 1127 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐿𝑁)) → 𝐼𝑁)
1913ad2ant3 1127 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐿𝑁)) → 𝐿𝑁)
205eleq2i 2819 . . . . . . . . . 10 (𝑋𝐵𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
2120biimpi 206 . . . . . . . . 9 (𝑋𝐵𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
22213ad2ant1 1125 . . . . . . . 8 ((𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
23223ad2ant2 1126 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐿𝑁)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
24 eqid 2748 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
254, 24matecl 20404 . . . . . . 7 ((𝐼𝑁𝐿𝑁𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝐼𝑋𝐿) ∈ (Base‘𝑅))
2618, 19, 23, 25syl3anc 1463 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐿𝑁)) → (𝐼𝑋𝐿) ∈ (Base‘𝑅))
27 eqid 2748 . . . . . . 7 (.r𝑅) = (.r𝑅)
28 eqid 2748 . . . . . . 7 (1r𝑅) = (1r𝑅)
2924, 27, 28ringridm 18743 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐼𝑋𝐿) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐼𝑋𝐿)(.r𝑅)(1r𝑅)) = (𝐼𝑋𝐿))
3016, 26, 29syl2anc 696 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐿𝑁)) → ((𝐼𝑋𝐿)(.r𝑅)(1r𝑅)) = (𝐼𝑋𝐿))
3124, 27, 8ringrz 18759 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐼𝑋𝐿) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐼𝑋𝐿)(.r𝑅) 0 ) = 0 )
3216, 26, 31syl2anc 696 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐿𝑁)) → ((𝐼𝑋𝐿)(.r𝑅) 0 ) = 0 )
3330, 32ifeq12d 4238 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐿𝑁)) → if(𝐽 = 𝐿, ((𝐼𝑋𝐿)(.r𝑅)(1r𝑅)), ((𝐼𝑋𝐿)(.r𝑅) 0 )) = if(𝐽 = 𝐿, (𝐼𝑋𝐿), 0 ))
3415, 33syl5eq 2794 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐿𝑁)) → ((𝐼𝑋𝐿)(.r𝑅)if(𝐽 = 𝐿, (1r𝑅), 0 )) = if(𝐽 = 𝐿, (𝐼𝑋𝐿), 0 ))
3534ifeq2d 4237 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐿𝑁)) → if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝐿)(.r𝑅)(𝐶𝐿)), ((𝐼𝑋𝐿)(.r𝑅)if(𝐽 = 𝐿, (1r𝑅), 0 ))) = if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝐿)(.r𝑅)(𝐶𝐿)), if(𝐽 = 𝐿, (𝐼𝑋𝐿), 0 )))
3612, 14, 353eqtrd 2786 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐿𝑁)) → ((𝐼𝑋𝐿)(.r𝑅)(𝐿𝐸𝐽)) = if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝐿)(.r𝑅)(𝐶𝐿)), if(𝐽 = 𝐿, (𝐼𝑋𝐿), 0 )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1620  wcel 2127  ifcif 4218  cfv 6037  (class class class)co 6801  𝑚 cmap 8011  Basecbs 16030  .rcmulr 16115  0gc0g 16273  1rcur 18672  Ringcrg 18718   Mat cmat 20386   matRepV cmatrepV 20536
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-inf2 8699  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-ot 4318  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-iin 4663  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-se 5214  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-isom 6046  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-of 7050  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-supp 7452  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7899  df-map 8013  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8429  df-sup 8501  df-oi 8568  df-card 8926  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-4 11244  df-5 11245  df-6 11246  df-7 11247  df-8 11248  df-9 11249  df-n0 11456  df-z 11541  df-dec 11657  df-uz 11851  df-fz 12491  df-fzo 12631  df-seq 12967  df-hash 13283  df-struct 16032  df-ndx 16033  df-slot 16034  df-base 16036  df-sets 16037  df-ress 16038  df-plusg 16127  df-mulr 16128  df-sca 16130  df-vsca 16131  df-ip 16132  df-tset 16133  df-ple 16134  df-ds 16137  df-hom 16139  df-cco 16140  df-0g 16275  df-gsum 16276  df-prds 16281  df-pws 16283  df-mre 16419  df-mrc 16420  df-acs 16422  df-mgm 17414  df-sgrp 17456  df-mnd 17467  df-mhm 17507  df-submnd 17508  df-grp 17597  df-minusg 17598  df-sbg 17599  df-mulg 17713  df-subg 17763  df-ghm 17830  df-cntz 17921  df-cmn 18366  df-abl 18367  df-mgp 18661  df-ur 18673  df-ring 18720  df-subrg 18951  df-lmod 19038  df-lss 19106  df-sra 19345  df-rgmod 19346  df-dsmm 20249  df-frlm 20264  df-mamu 20363  df-mat 20387  df-marepv 20538
This theorem is referenced by:  mulmarep1gsum1  20552  mulmarep1gsum2  20553
  Copyright terms: Public domain W3C validator