Theorem mulm1i 10688

Description: Product with minus one is negative. (Contributed by NM, 31-Jul-1999.)

Hypothesis

Ref	Expression
mulm1.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
mulm1i	⊢ (-1 · 𝐴) = -𝐴

Proof of Theorem mulm1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		mulm1 10684	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (-1 · 𝐴) = -𝐴

Syntax hints:   = wceq 1632   ∈ wcel 2140  (class class class)co 6815  ℂcc 10147  1c1 10150   · cmul 10154  -cneg 10480

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-op 4329  df-uni 4590  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-id 5175  df-po 5188  df-so 5189  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-ltxr 10292  df-sub 10481  df-neg 10482

This theorem is referenced by:  i3  13181  evpmodpmf1o  20165  efif1olem2  24510  logf1o2  24617  tanatan  24867  lgsneg  25267  lgsdilem  25270  lgsdir2lem5  25275  ipval3  27895  ipasslem10  28025  normlem0  28297  normlem9  28306  polid2i  28345  quad3  31893  cosnegpi  40600  sqwvfoura  40967