Theorem mulm1d 10694

Description: Product with minus one is negative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulm1d	⊢ (𝜑 → (-1 · 𝐴) = -𝐴)

Proof of Theorem mulm1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulm1 10683	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (-1 · 𝐴) = -𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  (class class class)co 6814  ℂcc 10146  1c1 10149   · cmul 10153  -cneg 10479

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-ltxr 10291  df-sub 10480  df-neg 10481

This theorem is referenced by:  recextlem1  10869  ofnegsub  11230  modnegd  12939  modsumfzodifsn  12957  m1expcl2  13096  remullem  14087  sqrtneglem  14226  iseraltlem2  14632  iseraltlem3  14633  fsumneg  14738  incexclem  14787  incexc  14788  risefallfac  14974  efi4p  15086  cosadd  15114  absefib  15147  efieq1re  15148  pwp1fsum  15336  bitsinv1lem  15385  bezoutlem1  15478  pythagtriplem4  15746  negcncf  22942  mbfneg  23636  itg1sub  23695  itgcnlem  23775  i1fibl  23793  itgitg1  23794  itgmulc2  23819  dvmptneg  23948  dvlipcn  23976  lhop2  23997  logneg  24554  lognegb  24556  tanarg  24585  logtayl  24626  logtayl2  24628  asinlem  24815  asinlem2  24816  asinsin  24839  efiatan2  24864  2efiatan  24865  atandmtan  24867  atantan  24870  atans2  24878  dvatan  24882  basellem5  25031  lgsdir2lem4  25273  gausslemma2dlem5a  25315  lgseisenlem1  25320  lgseisenlem2  25321  rpvmasum2  25421  ostth3  25547  smcnlem  27882  ipval2  27892  dipsubdir  28033  his2sub  28279  qqhval2lem  30355  fwddifnp1  32599  itgmulc2nc  33809  ftc1anclem5  33820  areacirclem1  33831  mzpsubmpt  37826  rmym1  38020  rngunsnply  38263  expgrowth  39054  isumneg  40355  climneg  40363  stoweidlem22  40760  stirlinglem5  40816  fourierdlem97  40941  sqwvfourb  40967  etransclem46  41018  smfneg  41534  sharhght  41578  sigaradd  41579  altgsumbcALT  42659