Theorem mulltgt0 39697

Description: The product of a negative and a positive number is negative. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Assertion

Ref	Expression
mulltgt0	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 · 𝐵) < 0)

Proof of Theorem mulltgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl 10545	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
2	1	ad2antrr 697	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → -𝐴 ∈ ℝ)
3		lt0neg1 10735	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
4	3	biimpa 462	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → 0 < -𝐴)
5	4	adantr 466	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < -𝐴)
6		simpr 471	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
7		mulgt0 10316	. . . 4 ⊢ (((-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < (-𝐴 · 𝐵))
8	2, 5, 6, 7	syl21anc 1474	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < (-𝐴 · 𝐵))
9		recn 10227	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
10	9	ad2antrr 697	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
11		recn 10227	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
12	11	ad2antrl 699	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
13	10, 12	mulneg1d 10684	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))
14	8, 13	breqtrd 4810	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < -(𝐴 · 𝐵))
15		remulcl 10222	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
16	15	ad2ant2r 733	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
17	16	lt0neg1d 10798	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ 0 < -(𝐴 · 𝐵)))
18	14, 17	mpbird 247	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 · 𝐵) < 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   ∈ wcel 2144   class class class wbr 4784  (class class class)co 6792  ℂcc 10135  ℝcr 10136  0cc0 10137   · cmul 10142   < clt 10275  -cneg 10468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470

This theorem is referenced by:  stoweidlem26  40754  stirlinglem5  40806