Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mulltgt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulltgt0 39697
Description: The product of a negative and a positive number is negative. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Assertion
Ref Expression
mulltgt0 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 · 𝐵) < 0)

Proof of Theorem mulltgt0
StepHypRef Expression
1 renegcl 10545 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
21ad2antrr 697 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → -𝐴 ∈ ℝ)
3 lt0neg1 10735 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
43biimpa 462 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → 0 < -𝐴)
54adantr 466 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < -𝐴)
6 simpr 471 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
7 mulgt0 10316 . . . 4 (((-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < (-𝐴 · 𝐵))
82, 5, 6, 7syl21anc 1474 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < (-𝐴 · 𝐵))
9 recn 10227 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
109ad2antrr 697 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
11 recn 10227 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
1211ad2antrl 699 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
1310, 12mulneg1d 10684 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))
148, 13breqtrd 4810 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < -(𝐴 · 𝐵))
15 remulcl 10222 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
1615ad2ant2r 733 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
1716lt0neg1d 10798 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ 0 < -(𝐴 · 𝐵)))
1814, 17mpbird 247 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 · 𝐵) < 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wcel 2144   class class class wbr 4784  (class class class)co 6792  cc 10135  cr 10136  0cc0 10137   · cmul 10142   < clt 10275  -cneg 10468
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470
This theorem is referenced by:  stoweidlem26  40754  stirlinglem5  40806
  Copyright terms: Public domain W3C validator