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Theorem mullimcf 40358
Description: Limit of the multiplication of two functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mullimcf.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
mullimcf.g (𝜑𝐺:𝐴⟶ℂ)
mullimcf.h 𝐻 = (𝑥𝐴 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)))
mullimcf.b (𝜑𝐵 ∈ (𝐹 lim 𝐷))
mullimcf.c (𝜑𝐶 ∈ (𝐺 lim 𝐷))
Assertion
Ref Expression
mullimcf (𝜑 → (𝐵 · 𝐶) ∈ (𝐻 lim 𝐷))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐷   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem mullimcf
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑒 𝑓 𝑦 𝑧 𝑤 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccl 23838 . . . 4 (𝐹 lim 𝐷) ⊆ ℂ
2 mullimcf.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ (𝐹 lim 𝐷))
31, 2sseldi 3742 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
4 limccl 23838 . . . 4 (𝐺 lim 𝐷) ⊆ ℂ
5 mullimcf.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ (𝐺 lim 𝐷))
64, 5sseldi 3742 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
73, 6mulcld 10252 . 2 (𝜑 → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
8 simpr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → 𝑤 ∈ ℝ+)
93adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
106adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℂ)
11 mulcn2 14525 . . . . 5 ((𝑤 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤))
128, 9, 10, 11syl3anc 1477 . . . 4 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤))
13 mullimcf.f . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
14 fdm 6212 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹:𝐴⟶ℂ → dom 𝐹 = 𝐴)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
16 limcrcl 23837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐵 ∈ (𝐹 lim 𝐷) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
172, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
1817simp2d 1138 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ℂ)
1915, 18eqsstr3d 3781 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
2017simp3d 1139 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
2113, 19, 20ellimc3 23842 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐹 lim 𝐷) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑒 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎))))
222, 21mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℂ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑒 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎)))
2322simprd 482 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑒 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎))
2423r19.21bi 3070 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) → ∃𝑒 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎))
2524adantrr 755 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) → ∃𝑒 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎))
26 mullimcf.g . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐺:𝐴⟶ℂ)
2726, 19, 20ellimc3 23842 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐺 lim 𝐷) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))))
285, 27mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)))
2928simprd 482 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))
3029r19.21bi 3070 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ+) → ∃𝑓 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))
3130adantrl 754 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) → ∃𝑓 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))
32 reeanv 3245 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)) ↔ (∃𝑒 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∃𝑓 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)))
3325, 31, 32sylanbrc 701 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) → ∃𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)))
34 ifcl 4274 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) → if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓) ∈ ℝ+)
35343ad2ant2 1129 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) → if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓) ∈ ℝ+)
36 nfv 1992 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑧(𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+))
37 nfv 1992 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑧(𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)
38 nfra1 3079 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑧𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎)
39 nfra1 3079 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑧𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)
4038, 39nfan 1977 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑧(∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))
4136, 37, 40nf3an 1980 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑧((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)))
42 simp11l 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → 𝜑)
43 simp1rl 1305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) → 𝑎 ∈ ℝ+)
44433ad2ant1 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → 𝑎 ∈ ℝ+)
4542, 44jca 555 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (𝜑𝑎 ∈ ℝ+))
46 simp12 1247 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+))
47 simp13l 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎))
4845, 46, 47jca31 558 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎)))
49 simp1r 1241 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎))
50 simp2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → 𝑧𝐴)
51 simp3l 1244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → 𝑧𝐷)
52 simplll 815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎)) → 𝜑)
53523ad2ant1 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → 𝜑)
54 simp1lr 1304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+))
55 simp3r 1245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))
56 simp1l 1240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → 𝜑)
57 simp2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → 𝑧𝐴)
5819sselda 3744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ ℂ)
5956, 57, 58syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → 𝑧 ∈ ℂ)
6056, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → 𝐷 ∈ ℂ)
6159, 60subcld 10584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → (𝑧𝐷) ∈ ℂ)
6261abscld 14374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → (abs‘(𝑧𝐷)) ∈ ℝ)
63 rpre 12032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑒 ∈ ℝ+𝑒 ∈ ℝ)
6463ad2antrl 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) → 𝑒 ∈ ℝ)
65643ad2ant1 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → 𝑒 ∈ ℝ)
66 rpre 12032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑓 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ)
6766ad2antll 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) → 𝑓 ∈ ℝ)
68673ad2ant1 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → 𝑓 ∈ ℝ)
6965, 68ifcld 4275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓) ∈ ℝ)
70 simp3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))
71 min1 12213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑒 ∈ ℝ ∧ 𝑓 ∈ ℝ) → if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓) ≤ 𝑒)
7265, 68, 71syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓) ≤ 𝑒)
7362, 69, 65, 70, 72ltletrd 10389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒)
7453, 54, 50, 55, 73syl211anc 1483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒)
7551, 74jca 555 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒))
76 rsp 3067 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) → (𝑧𝐴 → ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎)))
7749, 50, 75, 76syl3c 66 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎)
7848, 77syld3an1 1517 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎)
79 simp1l 1240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) → 𝜑)
8079, 43jca 555 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) → (𝜑𝑎 ∈ ℝ+))
81 simp2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) → (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+))
82 simp3r 1245 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) → ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))
8380, 81, 82jca31 558 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) → (((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)))
84 simp1r 1241 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))
85 simp2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → 𝑧𝐴)
86 simp3l 1244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → 𝑧𝐷)
87 simplll 815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)) → 𝜑)
88873ad2ant1 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → 𝜑)
89 simp1lr 1304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+))
90 simp3r 1245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))
91 min2 12214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑒 ∈ ℝ ∧ 𝑓 ∈ ℝ) → if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓) ≤ 𝑓)
9265, 68, 91syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓) ≤ 𝑓)
9362, 69, 68, 70, 92ltletrd 10389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓)
9488, 89, 85, 90, 93syl211anc 1483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓)
9586, 94jca 555 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓))
96 rsp 3067 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏) → (𝑧𝐴 → ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)))
9784, 85, 95, 96syl3c 66 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)
9883, 97syl3an1 1167 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)
9978, 98jca 555 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))
100993exp 1113 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) → (𝑧𝐴 → ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))))
10141, 100ralrimi 3095 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) → ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)))
102 breq2 4808 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓) → ((abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦 ↔ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)))
103102anbi2d 742 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓) → ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) ↔ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))))
104103imbi1d 330 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓) → (((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)) ↔ ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))))
105104ralbidv 3124 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓) → (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)) ↔ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))))
106105rspcev 3449 . . . . . . . . . . . . 13 ((if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)))
10735, 101, 106syl2anc 696 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)))
1081073exp 1113 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) → ((𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) → ((∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)))))
109108rexlimdvv 3175 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) → (∃𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))))
11033, 109mpd 15 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)))
111110adantlr 753 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)))
1121113adant3 1127 . . . . . . 7 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)))
113 nfv 1992 . . . . . . . . . . 11 𝑧(((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
114 nfra1 3079 . . . . . . . . . . 11 𝑧𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))
115113, 114nfan 1977 . . . . . . . . . 10 𝑧((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)))
116 simp1l 1240 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)) → 𝜑)
117116ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) → 𝜑)
1181173ad2ant1 1128 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦)) → 𝜑)
119 simp2 1132 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦)) → 𝑧𝐴)
120 mullimcf.h . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐻 = (𝑥𝐴 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)))
121120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝐻 = (𝑥𝐴 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))))
122 fveq2 6352 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑧 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑧))
123 fveq2 6352 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑧 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑧))
124122, 123oveq12d 6831 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)) = ((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)))
125124adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑥 = 𝑧) → ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)) = ((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)))
126 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧𝐴)
12713ffvelrnda 6522 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
12826ffvelrnda 6522 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
129127, 128mulcld 10252 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧𝐴) → ((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)) ∈ ℂ)
130121, 125, 126, 129fvmptd 6450 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝐻𝑧) = ((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)))
131130oveq1d 6828 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧𝐴) → ((𝐻𝑧) − (𝐵 · 𝐶)) = (((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)) − (𝐵 · 𝐶)))
132131fveq2d 6356 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧𝐴) → (abs‘((𝐻𝑧) − (𝐵 · 𝐶))) = (abs‘(((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)) − (𝐵 · 𝐶))))
133118, 119, 132syl2anc 696 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦)) → (abs‘((𝐻𝑧) − (𝐵 · 𝐶))) = (abs‘(((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)) − (𝐵 · 𝐶))))
134127, 128jca 555 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧𝐴) → ((𝐹𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑧) ∈ ℂ))
135118, 119, 134syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦)) → ((𝐹𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑧) ∈ ℂ))
136 simpll3 1259 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) → ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤))
1371363ad2ant1 1128 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦)) → ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤))
138 rsp 3067 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)) → (𝑧𝐴 → ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))))
1391383imp 1102 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦)) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))
1401393adant1l 1186 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦)) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))
141 oveq1 6820 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑐 = (𝐹𝑧) → (𝑐𝐵) = ((𝐹𝑧) − 𝐵))
142141fveq2d 6356 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 = (𝐹𝑧) → (abs‘(𝑐𝐵)) = (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)))
143142breq1d 4814 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 = (𝐹𝑧) → ((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ↔ (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎))
144143anbi1d 743 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 = (𝐹𝑧) → (((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) ↔ ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏)))
145 oveq1 6820 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑐 = (𝐹𝑧) → (𝑐 · 𝑑) = ((𝐹𝑧) · 𝑑))
146145oveq1d 6828 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 = (𝐹𝑧) → ((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶)) = (((𝐹𝑧) · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶)))
147146fveq2d 6356 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 = (𝐹𝑧) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) = (abs‘(((𝐹𝑧) · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))))
148147breq1d 4814 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 = (𝐹𝑧) → ((abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤 ↔ (abs‘(((𝐹𝑧) · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤))
149144, 148imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 = (𝐹𝑧) → ((((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤) ↔ (((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹𝑧) · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)))
150 oveq1 6820 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑑 = (𝐺𝑧) → (𝑑𝐶) = ((𝐺𝑧) − 𝐶))
151150fveq2d 6356 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 = (𝐺𝑧) → (abs‘(𝑑𝐶)) = (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)))
152151breq1d 4814 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 = (𝐺𝑧) → ((abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏 ↔ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))
153152anbi2d 742 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 = (𝐺𝑧) → (((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) ↔ ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)))
154 oveq2 6821 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑑 = (𝐺𝑧) → ((𝐹𝑧) · 𝑑) = ((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)))
155154oveq1d 6828 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 = (𝐺𝑧) → (((𝐹𝑧) · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶)) = (((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)) − (𝐵 · 𝐶)))
156155fveq2d 6356 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 = (𝐺𝑧) → (abs‘(((𝐹𝑧) · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) = (abs‘(((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)) − (𝐵 · 𝐶))))
157156breq1d 4814 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 = (𝐺𝑧) → ((abs‘(((𝐹𝑧) · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤 ↔ (abs‘(((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤))
158153, 157imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 = (𝐺𝑧) → ((((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹𝑧) · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤) ↔ (((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)))
159149, 158rspc2v 3461 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑧) ∈ ℂ) → (∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤) → (((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)))
160135, 137, 140, 159syl3c 66 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦)) → (abs‘(((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)
161133, 160eqbrtrd 4826 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦)) → (abs‘((𝐻𝑧) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)
1621613exp 1113 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) → (𝑧𝐴 → ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → (abs‘((𝐻𝑧) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)))
163115, 162ralrimi 3095 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) → ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → (abs‘((𝐻𝑧) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤))
164163ex 449 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)) → ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → (abs‘((𝐻𝑧) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)))
165164reximdva 3155 . . . . . . 7 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)) → (∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → (abs‘((𝐻𝑧) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)))
166112, 165mpd 15 . . . . . 6 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → (abs‘((𝐻𝑧) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤))
1671663exp 1113 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → (∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → (abs‘((𝐻𝑧) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤))))
168167rexlimdvv 3175 . . . 4 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → (∃𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → (abs‘((𝐻𝑧) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)))
16912, 168mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → (abs‘((𝐻𝑧) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤))
170169ralrimiva 3104 . 2 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → (abs‘((𝐻𝑧) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤))
17113ffvelrnda 6522 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
17226ffvelrnda 6522 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
173171, 172mulcld 10252 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)) ∈ ℂ)
174173, 120fmptd 6548 . . 3 (𝜑𝐻:𝐴⟶ℂ)
175174, 19, 20ellimc3 23842 . 2 (𝜑 → ((𝐵 · 𝐶) ∈ (𝐻 lim 𝐷) ↔ ((𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → (abs‘((𝐻𝑧) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤))))
1767, 170, 175mpbir2and 995 1 (𝜑 → (𝐵 · 𝐶) ∈ (𝐻 lim 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wral 3050  wrex 3051  wss 3715  ifcif 4230   class class class wbr 4804  cmpt 4881  dom cdm 5266  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  cc 10126  cr 10127   · cmul 10133   < clt 10266  cle 10267  cmin 10458  +crp 12025  abscabs 14173   lim climc 23825
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-fz 12520  df-seq 12996  df-exp 13055  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-rest 16285  df-topn 16286  df-topgen 16306  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-cnfld 19949  df-top 20901  df-topon 20918  df-topsp 20939  df-bases 20952  df-cnp 21234  df-xms 22326  df-ms 22327  df-limc 23829
This theorem is referenced by:  fourierdlem101  40927  fourierdlem111  40937
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