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Theorem mullimcf 40358
 Description: Limit of the multiplication of two functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mullimcf.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
mullimcf.g (𝜑𝐺:𝐴⟶ℂ)
mullimcf.h 𝐻 = (𝑥𝐴 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)))
mullimcf.b (𝜑𝐵 ∈ (𝐹 lim 𝐷))
mullimcf.c (𝜑𝐶 ∈ (𝐺 lim 𝐷))
Assertion
Ref Expression
mullimcf (𝜑 → (𝐵 · 𝐶) ∈ (𝐻 lim 𝐷))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐷   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem mullimcf
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑒 𝑓 𝑦 𝑧 𝑤 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccl 23838 . . . 4 (𝐹 lim 𝐷) ⊆ ℂ
2 mullimcf.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ (𝐹 lim 𝐷))
31, 2sseldi 3742 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
4 limccl 23838 . . . 4 (𝐺 lim 𝐷) ⊆ ℂ
5 mullimcf.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ (𝐺 lim 𝐷))
64, 5sseldi 3742 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
73, 6mulcld 10252 . 2 (𝜑 → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
8 simpr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → 𝑤 ∈ ℝ+)
93adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
106adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℂ)
11 mulcn2 14525 . . . . 5 ((𝑤 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤))
128, 9, 10, 11syl3anc 1477 . . . 4 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤))
13 mullimcf.f . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
14 fdm 6212 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹:𝐴⟶ℂ → dom 𝐹 = 𝐴)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
16 limcrcl 23837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐵 ∈ (𝐹 lim 𝐷) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
172, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
1817simp2d 1138 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ℂ)
1915, 18eqsstr3d 3781 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
2017simp3d 1139 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
2113, 19, 20ellimc3 23842 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐹 lim 𝐷) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑒 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎))))
222, 21mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℂ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑒 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎)))
2322simprd 482 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑒 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎))
2423r19.21bi 3070 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) → ∃𝑒 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎))
2524adantrr 755 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) → ∃𝑒 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎))
26 mullimcf.g . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐺:𝐴⟶ℂ)
2726, 19, 20ellimc3 23842 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐺 lim 𝐷) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))))
285, 27mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)))
2928simprd 482 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))
3029r19.21bi 3070 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ+) → ∃𝑓 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))
3130adantrl 754 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) → ∃𝑓 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))
32 reeanv 3245 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)) ↔ (∃𝑒 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∃𝑓 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)))
3325, 31, 32sylanbrc 701 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) → ∃𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)))
34 ifcl 4274 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) → if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓) ∈ ℝ+)
35343ad2ant2 1129 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) → if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓) ∈ ℝ+)
36 nfv 1992 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑧(𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+))
37 nfv 1992 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑧(𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)
38 nfra1 3079 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑧𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎)
39 nfra1 3079 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑧𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)
4038, 39nfan 1977 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑧(∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))
4136, 37, 40nf3an 1980 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑧((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)))
42 simp11l 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → 𝜑)
43 simp1rl 1305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) → 𝑎 ∈ ℝ+)
44433ad2ant1 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → 𝑎 ∈ ℝ+)
4542, 44jca 555 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (𝜑𝑎 ∈ ℝ+))
46 simp12 1247 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+))
47 simp13l 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎))
4845, 46, 47jca31 558 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎)))
49 simp1r 1241 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎))
50 simp2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → 𝑧𝐴)
51 simp3l 1244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → 𝑧𝐷)
52 simplll 815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎)) → 𝜑)
53523ad2ant1 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → 𝜑)
54 simp1lr 1304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+))
55 simp3r 1245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))
56 simp1l 1240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → 𝜑)
57 simp2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → 𝑧𝐴)
5819sselda 3744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ ℂ)
5956, 57, 58syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → 𝑧 ∈ ℂ)
6056, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → 𝐷 ∈ ℂ)
6159, 60subcld 10584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → (𝑧𝐷) ∈ ℂ)
6261abscld 14374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → (abs‘(𝑧𝐷)) ∈ ℝ)
63 rpre 12032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑒 ∈ ℝ+𝑒 ∈ ℝ)
6463ad2antrl 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) → 𝑒 ∈ ℝ)
65643ad2ant1 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → 𝑒 ∈ ℝ)
66 rpre 12032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑓 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ)
6766ad2antll 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) → 𝑓 ∈ ℝ)
68673ad2ant1 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → 𝑓 ∈ ℝ)
6965, 68ifcld 4275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓) ∈ ℝ)
70 simp3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))
71 min1 12213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑒 ∈ ℝ ∧ 𝑓 ∈ ℝ) → if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓) ≤ 𝑒)
7265, 68, 71syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓) ≤ 𝑒)
7362, 69, 65, 70, 72ltletrd 10389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒)
7453, 54, 50, 55, 73syl211anc 1483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒)
7551, 74jca 555 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒))
76 rsp 3067 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) → (𝑧𝐴 → ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎)))
7749, 50, 75, 76syl3c 66 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎)
7848, 77syld3an1 1517 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎)
79 simp1l 1240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) → 𝜑)
8079, 43jca 555 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) → (𝜑𝑎 ∈ ℝ+))
81 simp2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) → (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+))
82 simp3r 1245 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) → ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))
8380, 81, 82jca31 558 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) → (((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)))
84 simp1r 1241 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))
85 simp2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → 𝑧𝐴)
86 simp3l 1244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → 𝑧𝐷)
87 simplll 815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)) → 𝜑)
88873ad2ant1 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → 𝜑)
89 simp1lr 1304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+))
90 simp3r 1245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))
91 min2 12214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑒 ∈ ℝ ∧ 𝑓 ∈ ℝ) → if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓) ≤ 𝑓)
9265, 68, 91syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓) ≤ 𝑓)
9362, 69, 68, 70, 92ltletrd 10389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓)
9488, 89, 85, 90, 93syl211anc 1483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓)
9586, 94jca 555 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓))
96 rsp 3067 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏) → (𝑧𝐴 → ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)))
9784, 85, 95, 96syl3c 66 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)
9883, 97syl3an1 1167 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)
9978, 98jca 555 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))
100993exp 1113 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) → (𝑧𝐴 → ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))))
10141, 100ralrimi 3095 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) → ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)))
102 breq2 4808 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓) → ((abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦 ↔ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)))
103102anbi2d 742 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓) → ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) ↔ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))))
104103imbi1d 330 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓) → (((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)) ↔ ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))))
105104ralbidv 3124 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓) → (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)) ↔ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))))
106105rspcev 3449 . . . . . . . . . . . . 13 ((if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)))
10735, 101, 106syl2anc 696 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)))
1081073exp 1113 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) → ((𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) → ((∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)))))
109108rexlimdvv 3175 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) → (∃𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))))
11033, 109mpd 15 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)))
111110adantlr 753 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)))
1121113adant3 1127 . . . . . . 7 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)))
113 nfv 1992 . . . . . . . . . . 11 𝑧(((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
114 nfra1 3079 . . . . . . . . . . 11 𝑧𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))
115113, 114nfan 1977 . . . . . . . . . 10 𝑧((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)))
116 simp1l 1240 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)) → 𝜑)
117116ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) → 𝜑)
1181173ad2ant1 1128 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦)) → 𝜑)
119 simp2 1132 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦)) → 𝑧𝐴)
120 mullimcf.h . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐻 = (𝑥𝐴 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)))
121120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝐻 = (𝑥𝐴 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))))
122 fveq2 6352 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑧 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑧))
123 fveq2 6352 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑧 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑧))
124122, 123oveq12d 6831 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)) = ((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)))
125124adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑥 = 𝑧) → ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)) = ((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)))
126 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧𝐴)
12713ffvelrnda 6522 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
12826ffvelrnda 6522 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
129127, 128mulcld 10252 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧𝐴) → ((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)) ∈ ℂ)
130121, 125, 126, 129fvmptd 6450 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝐻𝑧) = ((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)))
131130oveq1d 6828 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧𝐴) → ((𝐻𝑧) − (𝐵 · 𝐶)) = (((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)) − (𝐵 · 𝐶)))
132131fveq2d 6356 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧𝐴) → (abs‘((𝐻𝑧) − (𝐵 · 𝐶))) = (abs‘(((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)) − (𝐵 · 𝐶))))
133118, 119, 132syl2anc 696 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦)) → (abs‘((𝐻𝑧) − (𝐵 · 𝐶))) = (abs‘(((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)) − (𝐵 · 𝐶))))
134127, 128jca 555 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧𝐴) → ((𝐹𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑧) ∈ ℂ))
135118, 119, 134syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦)) → ((𝐹𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑧) ∈ ℂ))
136 simpll3 1259 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) → ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤))
1371363ad2ant1 1128 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦)) → ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤))
138 rsp 3067 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)) → (𝑧𝐴 → ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))))
1391383imp 1102 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦)) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))
1401393adant1l 1186 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦)) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))
141 oveq1 6820 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑐 = (𝐹𝑧) → (𝑐𝐵) = ((𝐹𝑧) − 𝐵))
142141fveq2d 6356 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 = (𝐹𝑧) → (abs‘(𝑐𝐵)) = (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)))
143142breq1d 4814 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 = (𝐹𝑧) → ((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ↔ (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎))
144143anbi1d 743 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 = (𝐹𝑧) → (((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) ↔ ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏)))
145 oveq1 6820 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑐 = (𝐹𝑧) → (𝑐 · 𝑑) = ((𝐹𝑧) · 𝑑))
146145oveq1d 6828 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 = (𝐹𝑧) → ((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶)) = (((𝐹𝑧) · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶)))
147146fveq2d 6356 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 = (𝐹𝑧) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) = (abs‘(((𝐹𝑧) · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))))
148147breq1d 4814 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 = (𝐹𝑧) → ((abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤 ↔ (abs‘(((𝐹𝑧) · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤))
149144, 148imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 = (𝐹𝑧) → ((((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤) ↔ (((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹𝑧) · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)))
150 oveq1 6820 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑑 = (𝐺𝑧) → (𝑑𝐶) = ((𝐺𝑧) − 𝐶))
151150fveq2d 6356 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 = (𝐺𝑧) → (abs‘(𝑑𝐶)) = (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)))
152151breq1d 4814 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 = (𝐺𝑧) → ((abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏 ↔ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))
153152anbi2d 742 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 = (𝐺𝑧) → (((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) ↔ ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)))
154 oveq2 6821 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑑 = (𝐺𝑧) → ((𝐹𝑧) · 𝑑) = ((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)))
155154oveq1d 6828 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 = (𝐺𝑧) → (((𝐹𝑧) · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶)) = (((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)) − (𝐵 · 𝐶)))
156155fveq2d 6356 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 = (𝐺𝑧) → (abs‘(((𝐹𝑧) · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) = (abs‘(((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)) − (𝐵 · 𝐶))))
157156breq1d 4814 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 = (𝐺𝑧) → ((abs‘(((𝐹𝑧) · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤 ↔ (abs‘(((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤))
158153, 157imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 = (𝐺𝑧) → ((((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹𝑧) · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤) ↔ (((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)))
159149, 158rspc2v 3461 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑧) ∈ ℂ) → (∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤) → (((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)))
160135, 137, 140, 159syl3c 66 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦)) → (abs‘(((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)
161133, 160eqbrtrd 4826 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦)) → (abs‘((𝐻𝑧) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)
1621613exp 1113 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) → (𝑧𝐴 → ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → (abs‘((𝐻𝑧) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)))
163115, 162ralrimi 3095 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) → ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → (abs‘((𝐻𝑧) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤))
164163ex 449 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)) → ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → (abs‘((𝐻𝑧) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)))
165164reximdva 3155 . . . . . . 7 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)) → (∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → (abs‘((𝐻𝑧) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)))
166112, 165mpd 15 . . . . . 6 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → (abs‘((𝐻𝑧) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤))
1671663exp 1113 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → (∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → (abs‘((𝐻𝑧) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤))))
168167rexlimdvv 3175 . . . 4 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → (∃𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → (abs‘((𝐻𝑧) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)))
16912, 168mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → (abs‘((𝐻𝑧) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤))
170169ralrimiva 3104 . 2 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → (abs‘((𝐻𝑧) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤))
17113ffvelrnda 6522 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
17226ffvelrnda 6522 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
173171, 172mulcld 10252 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)) ∈ ℂ)
174173, 120fmptd 6548 . . 3 (𝜑𝐻:𝐴⟶ℂ)
175174, 19, 20ellimc3 23842 . 2 (𝜑 → ((𝐵 · 𝐶) ∈ (𝐻 lim 𝐷) ↔ ((𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → (abs‘((𝐻𝑧) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤))))
1767, 170, 175mpbir2and 995 1 (𝜑 → (𝐵 · 𝐶) ∈ (𝐻 lim 𝐷))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ∀wral 3050  ∃wrex 3051   ⊆ wss 3715  ifcif 4230   class class class wbr 4804   ↦ cmpt 4881  dom cdm 5266  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  ℂcc 10126  ℝcr 10127   · cmul 10133   < clt 10266   ≤ cle 10267   − cmin 10458  ℝ+crp 12025  abscabs 14173   limℂ climc 23825 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-fz 12520  df-seq 12996  df-exp 13055  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-rest 16285  df-topn 16286  df-topgen 16306  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-cnfld 19949  df-top 20901  df-topon 20918  df-topsp 20939  df-bases 20952  df-cnp 21234  df-xms 22326  df-ms 22327  df-limc 23829 This theorem is referenced by:  fourierdlem101  40927  fourierdlem111  40937
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