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Theorem mullimc 40166
Description: Limit of the product of two functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mullimc.f 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
mullimc.g 𝐺 = (𝑥𝐴𝐶)
mullimc.h 𝐻 = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 · 𝐶))
mullimc.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
mullimc.c ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
mullimc.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐹 lim 𝐷))
mullimc.y (𝜑𝑌 ∈ (𝐺 lim 𝐷))
Assertion
Ref Expression
mullimc (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ (𝐻 lim 𝐷))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem mullimc
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑒 𝑓 𝑦 𝑧 𝑤 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccl 23684 . . . 4 (𝐹 lim 𝐷) ⊆ ℂ
2 mullimc.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝐹 lim 𝐷))
31, 2sseldi 3634 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
4 limccl 23684 . . . 4 (𝐺 lim 𝐷) ⊆ ℂ
5 mullimc.y . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ (𝐺 lim 𝐷))
64, 5sseldi 3634 . . 3 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
73, 6mulcld 10098 . 2 (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ ℂ)
8 simpr 476 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → 𝑤 ∈ ℝ+)
93adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℂ)
106adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → 𝑌 ∈ ℂ)
11 mulcn2 14370 . . . . 5 ((𝑤 ∈ ℝ+𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ) → ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤))
128, 9, 10, 11syl3anc 1366 . . . 4 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤))
13 mullimc.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
14 mullimc.f . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
1513, 14fmptd 6425 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
1614, 13dmmptd 6062 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
17 limcrcl 23683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑋 ∈ (𝐹 lim 𝐷) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
182, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
1918simp2d 1094 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ℂ)
2016, 19eqsstr3d 3673 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
2118simp3d 1095 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
2215, 20, 21ellimc3 23688 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐹 lim 𝐷) ↔ (𝑋 ∈ ℂ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑒 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎))))
232, 22mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑋 ∈ ℂ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑒 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎)))
2423simprd 478 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑒 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎))
2524r19.21bi 2961 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) → ∃𝑒 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎))
2625adantrr 753 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) → ∃𝑒 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎))
27 mullimc.c . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
28 mullimc.g . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐺 = (𝑥𝐴𝐶)
2927, 28fmptd 6425 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐺:𝐴⟶ℂ)
3029, 20, 21ellimc3 23688 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐺 lim 𝐷) ↔ (𝑌 ∈ ℂ ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))))
315, 30mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑌 ∈ ℂ ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)))
3231simprd 478 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))
3332r19.21bi 2961 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ+) → ∃𝑓 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))
3433adantrl 752 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) → ∃𝑓 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))
35 reeanv 3136 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)) ↔ (∃𝑒 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∃𝑓 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)))
3626, 34, 35sylanbrc 699 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) → ∃𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)))
37 ifcl 4163 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) → if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓) ∈ ℝ+)
38373ad2ant2 1103 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) → if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓) ∈ ℝ+)
39 nfv 1883 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑧(𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+))
40 nfv 1883 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑧(𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)
41 nfra1 2970 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑧𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎)
42 nfra1 2970 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑧𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)
4341, 42nfan 1868 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑧(∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))
4439, 40, 43nf3an 1871 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑧((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)))
45 simp11l 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → 𝜑)
46 simp1rl 1146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) → 𝑎 ∈ ℝ+)
47463ad2ant1 1102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → 𝑎 ∈ ℝ+)
4845, 47jca 553 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (𝜑𝑎 ∈ ℝ+))
49 simp12 1112 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+))
50 simp13l 1196 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎))
5148, 49, 50jca31 556 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎)))
52 simp1r 1106 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎))
53 simp2 1082 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → 𝑧𝐴)
54 simp3l 1109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → 𝑧𝐷)
55 simplll 813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎)) → 𝜑)
56553ad2ant1 1102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → 𝜑)
57 simp1lr 1145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+))
58 simp3r 1110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))
59 simp1l 1105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → 𝜑)
60 simp2 1082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → 𝑧𝐴)
6120sselda 3636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ ℂ)
6259, 60, 61syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → 𝑧 ∈ ℂ)
6359, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → 𝐷 ∈ ℂ)
6462, 63subcld 10430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → (𝑧𝐷) ∈ ℂ)
6564abscld 14219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → (abs‘(𝑧𝐷)) ∈ ℝ)
66 rpre 11877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑒 ∈ ℝ+𝑒 ∈ ℝ)
6766ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) → 𝑒 ∈ ℝ)
68673ad2ant1 1102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → 𝑒 ∈ ℝ)
69 rpre 11877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑓 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ)
7069ad2antll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) → 𝑓 ∈ ℝ)
71703ad2ant1 1102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → 𝑓 ∈ ℝ)
7268, 71ifcld 4164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓) ∈ ℝ)
73 simp3 1083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))
74 min1 12058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑒 ∈ ℝ ∧ 𝑓 ∈ ℝ) → if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓) ≤ 𝑒)
7568, 71, 74syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓) ≤ 𝑒)
7665, 72, 68, 73, 75ltletrd 10235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒)
7756, 57, 53, 58, 76syl211anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒)
7854, 77jca 553 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒))
79 rsp 2958 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) → (𝑧𝐴 → ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎)))
8052, 53, 78, 79syl3c 66 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎)
8151, 80syld3an1 1412 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎)
82 simp1l 1105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) → 𝜑)
8382, 46jca 553 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) → (𝜑𝑎 ∈ ℝ+))
84 simp2 1082 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) → (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+))
85 simp3r 1110 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) → ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))
8683, 84, 85jca31 556 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) → (((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)))
87 simp1r 1106 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))
88 simp2 1082 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → 𝑧𝐴)
89 simp3l 1109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → 𝑧𝐷)
90 simplll 813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)) → 𝜑)
91903ad2ant1 1102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → 𝜑)
92 simp1lr 1145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+))
93 simp3r 1110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))
94 min2 12059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑒 ∈ ℝ ∧ 𝑓 ∈ ℝ) → if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓) ≤ 𝑓)
9568, 71, 94syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓) ≤ 𝑓)
9665, 72, 71, 73, 95ltletrd 10235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓)
9791, 92, 88, 93, 96syl211anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓)
9889, 97jca 553 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓))
99 rsp 2958 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏) → (𝑧𝐴 → ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)))
10087, 88, 98, 99syl3c 66 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)
10186, 100syl3an1 1399 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)
10281, 101jca 553 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))
1031023exp 1283 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) → (𝑧𝐴 → ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))))
10444, 103ralrimi 2986 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) → ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)))
105 breq2 4689 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓) → ((abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦 ↔ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)))
106105anbi2d 740 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓) → ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) ↔ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))))
107106imbi1d 330 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓) → (((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)) ↔ ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))))
108107ralbidv 3015 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓) → (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)) ↔ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))))
109108rspcev 3340 . . . . . . . . . . . . 13 ((if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)))
11038, 104, 109syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)))
1111103exp 1283 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) → ((𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) → ((∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)))))
112111rexlimdvv 3066 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) → (∃𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))))
11336, 112mpd 15 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)))
114113adantlr 751 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)))
1151143adant3 1101 . . . . . . 7 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)))
116 nfv 1883 . . . . . . . . . . 11 𝑧(((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
117 nfra1 2970 . . . . . . . . . . 11 𝑧𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))
118116, 117nfan 1868 . . . . . . . . . 10 𝑧((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)))
119 simp1l 1105 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)) → 𝜑)
120119ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) → 𝜑)
1211203ad2ant1 1102 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦)) → 𝜑)
122 simp2 1082 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦)) → 𝑧𝐴)
123 nfv 1883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥(𝜑𝑧𝐴)
124 mullimc.h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐻 = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 · 𝐶))
125 nfmpt1 4780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥(𝑥𝐴 ↦ (𝐵 · 𝐶))
126124, 125nfcxfr 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥𝐻
127 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥𝑧
128126, 127nffv 6236 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥(𝐻𝑧)
129 nfmpt1 4780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥(𝑥𝐴𝐵)
13014, 129nfcxfr 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥𝐹
131130, 127nffv 6236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥(𝐹𝑧)
132 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥 ·
133 nfmpt1 4780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥(𝑥𝐴𝐶)
13428, 133nfcxfr 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥𝐺
135134, 127nffv 6236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥(𝐺𝑧)
136131, 132, 135nfov 6716 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))
137128, 136nfeq 2805 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥(𝐻𝑧) = ((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))
138123, 137nfim 1865 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥((𝜑𝑧𝐴) → (𝐻𝑧) = ((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)))
139 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥𝐴𝑧𝐴))
140139anbi2d 740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑧 → ((𝜑𝑥𝐴) ↔ (𝜑𝑧𝐴)))
141 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑧 → (𝐻𝑥) = (𝐻𝑧))
142 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑧 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑧))
143 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑧 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑧))
144142, 143oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)) = ((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)))
145141, 144eqeq12d 2666 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐻𝑥) = ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)) ↔ (𝐻𝑧) = ((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))))
146140, 145imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑧 → (((𝜑𝑥𝐴) → (𝐻𝑥) = ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) ↔ ((𝜑𝑧𝐴) → (𝐻𝑧) = ((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)))))
147 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
14813, 27mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
149124fvmpt2 6330 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥𝐴 ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ) → (𝐻𝑥) = (𝐵 · 𝐶))
150147, 148, 149syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐻𝑥) = (𝐵 · 𝐶))
15114fvmpt2 6330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥𝐴𝐵 ∈ ℂ) → (𝐹𝑥) = 𝐵)
152147, 13, 151syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) = 𝐵)
153152eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 = (𝐹𝑥))
15428fvmpt2 6330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥𝐴𝐶 ∈ ℂ) → (𝐺𝑥) = 𝐶)
155147, 27, 154syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐺𝑥) = 𝐶)
156155eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 = (𝐺𝑥))
157153, 156oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵 · 𝐶) = ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)))
158150, 157eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐻𝑥) = ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)))
159138, 146, 158chvar 2298 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝐻𝑧) = ((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)))
160159oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧𝐴) → ((𝐻𝑧) − (𝑋 · 𝑌)) = (((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)) − (𝑋 · 𝑌)))
161160fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧𝐴) → (abs‘((𝐻𝑧) − (𝑋 · 𝑌))) = (abs‘(((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)) − (𝑋 · 𝑌))))
162121, 122, 161syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦)) → (abs‘((𝐻𝑧) − (𝑋 · 𝑌))) = (abs‘(((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)) − (𝑋 · 𝑌))))
16315ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
16429ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
165163, 164jca 553 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧𝐴) → ((𝐹𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑧) ∈ ℂ))
166121, 122, 165syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦)) → ((𝐹𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑧) ∈ ℂ))
167 simpll3 1122 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) → ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤))
1681673ad2ant1 1102 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦)) → ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤))
169 rsp 2958 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)) → (𝑧𝐴 → ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))))
1701693imp 1275 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦)) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))
1711703adant1l 1358 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦)) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))
172 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑐 = (𝐹𝑧) → (𝑐𝑋) = ((𝐹𝑧) − 𝑋))
173172fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 = (𝐹𝑧) → (abs‘(𝑐𝑋)) = (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)))
174173breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 = (𝐹𝑧) → ((abs‘(𝑐𝑋)) < 𝑎 ↔ (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎))
175174anbi1d 741 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 = (𝐹𝑧) → (((abs‘(𝑐𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝑌)) < 𝑏) ↔ ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝑌)) < 𝑏)))
176 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑐 = (𝐹𝑧) → (𝑐 · 𝑑) = ((𝐹𝑧) · 𝑑))
177176oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 = (𝐹𝑧) → ((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌)) = (((𝐹𝑧) · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌)))
178177fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 = (𝐹𝑧) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) = (abs‘(((𝐹𝑧) · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))))
179178breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 = (𝐹𝑧) → ((abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤 ↔ (abs‘(((𝐹𝑧) · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤))
180175, 179imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 = (𝐹𝑧) → ((((abs‘(𝑐𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤) ↔ (((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝑌)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹𝑧) · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)))
181 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑑 = (𝐺𝑧) → (𝑑𝑌) = ((𝐺𝑧) − 𝑌))
182181fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 = (𝐺𝑧) → (abs‘(𝑑𝑌)) = (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)))
183182breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 = (𝐺𝑧) → ((abs‘(𝑑𝑌)) < 𝑏 ↔ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))
184183anbi2d 740 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 = (𝐺𝑧) → (((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝑌)) < 𝑏) ↔ ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)))
185 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑑 = (𝐺𝑧) → ((𝐹𝑧) · 𝑑) = ((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)))
186185oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 = (𝐺𝑧) → (((𝐹𝑧) · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌)) = (((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)) − (𝑋 · 𝑌)))
187186fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 = (𝐺𝑧) → (abs‘(((𝐹𝑧) · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) = (abs‘(((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)) − (𝑋 · 𝑌))))
188187breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 = (𝐺𝑧) → ((abs‘(((𝐹𝑧) · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤 ↔ (abs‘(((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤))
189184, 188imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 = (𝐺𝑧) → ((((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝑌)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹𝑧) · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤) ↔ (((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)))
190180, 189rspc2v 3353 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑧) ∈ ℂ) → (∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤) → (((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)))
191166, 168, 171, 190syl3c 66 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦)) → (abs‘(((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)
192162, 191eqbrtrd 4707 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦)) → (abs‘((𝐻𝑧) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)
1931923exp 1283 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) → (𝑧𝐴 → ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → (abs‘((𝐻𝑧) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)))
194118, 193ralrimi 2986 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) → ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → (abs‘((𝐻𝑧) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤))
195194ex 449 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)) → ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → (abs‘((𝐻𝑧) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)))
196195reximdva 3046 . . . . . . 7 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)) → (∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → (abs‘((𝐻𝑧) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)))
197115, 196mpd 15 . . . . . 6 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → (abs‘((𝐻𝑧) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤))
1981973exp 1283 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → (∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → (abs‘((𝐻𝑧) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤))))
199198rexlimdvv 3066 . . . 4 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → (∃𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → (abs‘((𝐻𝑧) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)))
20012, 199mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → (abs‘((𝐻𝑧) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤))
201200ralrimiva 2995 . 2 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → (abs‘((𝐻𝑧) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤))
202148, 124fmptd 6425 . . 3 (𝜑𝐻:𝐴⟶ℂ)
203202, 20, 21ellimc3 23688 . 2 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) ∈ (𝐻 lim 𝐷) ↔ ((𝑋 · 𝑌) ∈ ℂ ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → (abs‘((𝐻𝑧) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤))))
2047, 201, 203mpbir2and 977 1 (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ (𝐻 lim 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  wss 3607  ifcif 4119   class class class wbr 4685  cmpt 4762  dom cdm 5143  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973   · cmul 9979   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304  +crp 11870  abscabs 14018   lim climc 23671
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-fz 12365  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-rest 16130  df-topn 16131  df-topgen 16151  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cnp 21080  df-xms 22172  df-ms 22173  df-limc 23675
This theorem is referenced by:  reclimc  40203  divlimc  40206  fourierdlem73  40714  fourierdlem76  40717  fourierdlem84  40725  fourierdlem85  40726  fourierdlem88  40729
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