MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgz 17776
Description: A group multiple of the identity, for integer multiple. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnn0z.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnn0z.t · = (.g𝐺)
mulgnn0z.o 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
mulgz ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 · 0 ) = 0 )

Proof of Theorem mulgz
StepHypRef Expression
1 grpmnd 17637 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
21adantr 466 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐺 ∈ Mnd)
3 mulgnn0z.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
4 mulgnn0z.t . . . 4 · = (.g𝐺)
5 mulgnn0z.o . . . 4 0 = (0g𝐺)
63, 4, 5mulgnn0z 17775 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 0 ) = 0 )
72, 6sylan 569 . 2 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 0 ) = 0 )
8 simpll 750 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ Grp)
9 nn0z 11607 . . . . 5 (-𝑁 ∈ ℕ0 → -𝑁 ∈ ℤ)
109adantl 467 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℤ)
113, 5grpidcl 17658 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → 0𝐵)
1211ad2antrr 705 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → 0𝐵)
13 eqid 2771 . . . . 5 (invg𝐺) = (invg𝐺)
143, 4, 13mulgneg 17768 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ -𝑁 ∈ ℤ ∧ 0𝐵) → (--𝑁 · 0 ) = ((invg𝐺)‘(-𝑁 · 0 )))
158, 10, 12, 14syl3anc 1476 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (--𝑁 · 0 ) = ((invg𝐺)‘(-𝑁 · 0 )))
16 zcn 11589 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
1716ad2antlr 706 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
1817negnegd 10589 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → --𝑁 = 𝑁)
1918oveq1d 6811 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (--𝑁 · 0 ) = (𝑁 · 0 ))
203, 4, 5mulgnn0z 17775 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝑁 · 0 ) = 0 )
212, 20sylan 569 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝑁 · 0 ) = 0 )
2221fveq2d 6337 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ((invg𝐺)‘(-𝑁 · 0 )) = ((invg𝐺)‘ 0 ))
235, 13grpinvid 17684 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → ((invg𝐺)‘ 0 ) = 0 )
2423ad2antrr 705 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ((invg𝐺)‘ 0 ) = 0 )
2522, 24eqtrd 2805 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ((invg𝐺)‘(-𝑁 · 0 )) = 0 )
2615, 19, 253eqtr3d 2813 . 2 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 0 ) = 0 )
27 elznn0 11599 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
2827simprbi 484 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0))
2928adantl 467 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0))
307, 26, 29mpjaodan 943 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 · 0 ) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wo 836   = wceq 1631  wcel 2145  cfv 6030  (class class class)co 6796  cc 10140  cr 10141  -cneg 10473  0cn0 11499  cz 11584  Basecbs 16064  0gc0g 16308  Mndcmnd 17502  Grpcgrp 17630  invgcminusg 17631  .gcmg 17748
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-fz 12534  df-seq 13009  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-mulg 17749
This theorem is referenced by:  mulgmodid  17789  odmod  18172  gexdvdsi  18205
  Copyright terms: Public domain W3C validator