MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgt0ii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgt0ii 10371
Description: The product of two positive numbers is positive. (Contributed by NM, 18-May-1999.)
Hypotheses
Ref Expression
lt.1 𝐴 ∈ ℝ
lt.2 𝐵 ∈ ℝ
mulgt0i.3 0 < 𝐴
mulgt0i.4 0 < 𝐵
Assertion
Ref Expression
mulgt0ii 0 < (𝐴 · 𝐵)

Proof of Theorem mulgt0ii
StepHypRef Expression
1 mulgt0i.3 . 2 0 < 𝐴
2 mulgt0i.4 . 2 0 < 𝐵
3 lt.1 . . 3 𝐴 ∈ ℝ
4 lt.2 . . 3 𝐵 ∈ ℝ
53, 4mulgt0i 10370 . 2 ((0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
61, 2, 5mp2an 664 1 0 < (𝐴 · 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2144   class class class wbr 4784  (class class class)co 6792  cr 10136  0cc0 10137   · cmul 10142   < clt 10275
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6795  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-ltxr 10280
This theorem is referenced by:  ef01bndlem  15119  efif1olem2  24509  efif1olem4  24511  ang180lem1  24759  ang180lem2  24760  chebbnd1lem3  25380  chebbnd1  25381  sinaover2ne0  40591  dirkercncflem4  40834  fourierdlem24  40859  fourierswlem  40958  fouriersw  40959
  Copyright terms: Public domain W3C validator