Theorem mulgnnsubcl 17761

Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation in a subsemigroup. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnnsubcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnnsubcl.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgnnsubcl.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
mulgnnsubcl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
mulgnnsubcl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
mulgnnsubcl.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
mulgnnsubcl	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, +   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥, ·   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   · (𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mulgnnsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1131	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑁 ∈ ℕ)
2		mulgnnsubcl.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
3	2	3ad2ant1 1127	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
4		simp3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝑆)
5	3, 4	sseldd 3753	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		mulgnnsubcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7		mulgnnsubcl.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
8		mulgnnsubcl.t	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
9		eqid 2771	. . . 4 ⊢ seq1( + , (ℕ × {𝑋})) = seq1( + , (ℕ × {𝑋}))
10	6, 7, 8, 9	mulgnn 17755	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
11	1, 5, 10	syl2anc 573	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑁 · 𝑋) = (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
12		nnuz 11925	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
13	1, 12	syl6eleq 2860	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
14		elfznn 12577	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑁) → 𝑥 ∈ ℕ)
15		fvconst2g 6611	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑥) = 𝑋)
16	4, 14, 15	syl2an 583	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑥) = 𝑋)
17		simpl3 1231	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → 𝑋 ∈ 𝑆)
18	16, 17	eqeltrd 2850	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑥) ∈ 𝑆)
19		mulgnnsubcl.c	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
20	19	3expb 1113	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
21	20	3ad2antl1 1200	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
22	13, 18, 21	seqcl 13028	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑁) ∈ 𝑆)
23	11, 22	eqeltrd 2850	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   ∧ w3a 1071   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3723  {csn 4316   × cxp 5247  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  1c1 10139  ℕcn 11222  ℤ_≥cuz 11888  ...cfz 12533  seqcseq 13008  Basecbs 16064  +_gcplusg 16149  ._gcmg 17748

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-seq 13009  df-mulg 17749

This theorem is referenced by:  mulgnn0subcl  17762  mulgsubcl  17763  mulgnncl  17764  mulgnnclOLD  17765  xrsmulgzz  30018